Plantilla:Ternas pitagóricas
De Wikipedia
- Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras.
- Las ternas cuyos tres números son primos entre sí, es decir, tales que m.c.d(a,b,c)=1, reciben el nombre de ternas pitagóricas primitivas.
- (3,4,5) es una terna pitagórica (52 = 32 + 42).
- También son ternas pitagóricas sus múltiplos: (6,8,10), (9,12,15), ... ,(3k,4k,5k) con
.
Generando ternas pitagóricas
Proposición
Si es una terna pitagórica entonces también lo es
, con
.
Demostración:
Sea (a,b,c) es una terna pitagórica. Se cumple:
![a^2+b^2=c^2 \,](/wikipedia/images/math/3/a/e/3ae71ab3eb71d3d182a3b9e437fba6ee.png)
Vamos a comprobar que (ka,kb,kc) también lo es y para ello veremos que también cumple el teorema de Pitágoras:
![(ka)^2+(kb)^2=k^2a^2+k^2b^2=k^2(a^2+b^2)=k^2c^2=(kc)^2\;](/wikipedia/images/math/a/5/f/a5f404febbfb37c91f8bc89472a00877.png)
donde en el el penúltimo paso hemos utilizado la igualdad [1].
Por tanto, (ka,kb,kc) cumple el teorema de Pitágoras y es una terna pitagórica.![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se generan ternas pitagóricas.
Proposición
Si son cuatro términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, entonces los siguientes números
![a_1 = x_{n-1} x_{n+2}\, ; \ \ a_2= 2x_n x_{n+1}\, ; \ \ a_3=\sqrt{a_1^2 +a_2^2}](/wikipedia/images/math/e/d/c/edc107ad2d93acd8ff01deadaee04fda.png)
forman una terna pitagórica.
Demostración:
Se demuestra expresando los términos centrales de la subsucesión de Fibonacci, en función de los términos extremos y, luego, aplicando el teorema de Pitágoras para
![a_1 \, y \, a_2 \;](/wikipedia/images/math/c/a/8/ca8336c699b323b725d71918ba55379c.png)