Posiciones relativas de dos rectas del plano (1ºBach)
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Posición relativa de dos rectas en el plano
Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.
Veamos como se averigua dependiendo del tipo de ecuaciones que nos den.
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas
Procedimiento
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y
:
![\begin{cases} a+bt=a'+b's \\ c+dt=c'+d's \end{cases}](/wikipedia/images/math/d/b/b/dbb07ba0c6f4ac401c17109ea6344cda.png)
- Si el sistema es compatible determinado (una solución:
), las dos rectas se cortan en un punto, que se obtiene sustituyendo los parámetros
y
, en las ecuaciones paramétricas.
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas.
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes.
Ejemplo: Posición relativa de dos rectas
Determina la posición relativa de las rectas: y
Hay que cambiar el parámetro "t" en una de las dos ecuaciones (por ejemplo la segunda) por otro distinto "s".
;
A continuación se resuelve el siguiente sistema:
Luego las rectas son secantes, y su punto de corte lo obtenemos sustituyendo estas soluciones en cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas, por ejemplo, en la primera:
![(7,-6)\,](/wikipedia/images/math/1/3/5/1358a704d60260e7c7b6a8fa64867332.png)
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas
Procedimiento
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, e
:
![\begin{cases} Ax+By+C=0 \\ A'x+B'y+C'=0 \end{cases}](/wikipedia/images/math/3/3/4/334e6c64ef53f263aceff0096790e960.png)
- Si el sistema es compatible determinado (una solución:
), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando
).
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando
).
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando
).
Ejemplo: Posición relativa de dos rectas
Determina la posición relativa de las rectas: y
Hay que resolver el siguiente sistema.
No tiene solución.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver las distintas posiciones relativas de dos rectas en el plano.
Actividad: Posición relativa de rectas en ecuaciones generales a) Estudia la posición relativa de las dos rectas siguientes: b) Estudia la posición relativa de las tres rectas siguientes:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
|
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones explícitas
Procedimiento
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, e
:
![\begin{cases} y=mx+n \\ y=m'x+n' \end{cases}](/wikipedia/images/math/d/1/1/d11f894a90068a04d8828d81dd01c5e2.png)
- Si el sistema es compatible determinado (una solución:
), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando las pendientes son distintas:
).
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando
).
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando
).
Ejercicios
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Sean las rectas A1.x + B1.y + C1 = 0 y A2.x + B2.y + C2 = 0.
- Si A1/A2 = B1/B2 = C1/C2, las rectas son la misma.
- Si A1/A2 = B1/B2 pero no coincide con C1/C2, las rectas son paralelas.
- En otros casos las rectas se cortan en el punto cuyas coordenadas corresponden a la única solución que tiene el sistema que forman las ecuaciones de las rectas.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
En los dos problemas de este vídeo nos dan dos rectas y una de ellas tiene coeficientes "locos". Debemos determinar esos coeficientes locos para que las rectas tengan una posición relativa concreta.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Debemos demostrar que cuatro rectas dadas forman un paralelogramo (son paralelas dos a dos) y determinar su centro.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Posición relativa de dos rectas en el plano |