Las funciones y sus gráficas (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Concepto de función
2 Representación gráfica de una función
3 Dominio e imagen de una función
4 Puntos de corte con los ejes y signo de una función
5 Ejercicios
- 5.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 146)

Concepto de función

Una función es una relación entre dos variables (por ejemplo, $x\;$ e $y\;$ ) que a cada valor de $x\;$ le asigna un único valor de $y\;$ .

La variable $x\;$ se llama variable independiente y la variable $y\;$ se llama variable dependiente, porque su valor depende de $x\;$ .

Se dice que $y\;$ es función de $x\;$ y lo representamos por $y = f(x)\;\!$ . También se dice que $y\;$ es la imagen de $x\;$ mediante la función $f\;$ .

Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

La relación entre el tiempo (t) que el grifo está abierto y el volumen (V) de agua que hay en el depósito es una función.

El volumen es función del tiempo: $V=f(t)\;$

La variable independiente (t) es el "tiempo que está abierto el grifo".
La variable dependiente (V) es el "volumen de agua que se ha llenado el depósito".

En los siguientes videos se explican los conceptos básicos sobre funciones que trataremos a lo largo de este tema.

Concepto de función

Tutorial 1 (27'16") Sinopsis:

Tutorial en el que se explican los conceptos básicos sobre funciones: variable independiente, dependiente, imagen, preimagen, dominio, recorrido... necesarios para poder comprender la terminología que se emplea en el análisis matemático.

Tutorial 2 (46'32") Sinopsis:

Definición de función.
Dominio e imagen (o rango).
Distintas formas de representar una función.
Ejercicios resueltos.

Representación gráfica de una función

La representación gráfica de una función nos permite visualizar el comportamiento de las dos variables.

Procedimiento

Usaremos un sistema de ejes cartesianos con una escala adecuada.
- Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente $x\;$ .
- Sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente $y\;$ .
Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores $x\;$ e $y\;$ , que son sus coordenadas $(x,y)\;$ , su abscisa y su ordenada.

Ejemplo:

Consideremos el ejemplo anterior del grifo y el depósito:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

Función:

El volumen del depósito es función del tiempo: $V=f(t)\;$

t = "Tiempo que está abierto el grifo" (en segundos).

V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito" (en litros).

Tabla de valores:

Para obtener la representación gráfica es necesario obtener puntos de la misma. Para ello construiremos la llamada tabla de valores, que consiste en averiguar parejas de valores (t,V) que estén relacionadas mediante la función:

tiempo (s)	0	1	5	20	40	60	100
Volumen (l)	0	2	10	40	80	120	200

Gráfica:

Representaremos los valores de la tabla en unos ejes de coordenadas. Cada punto de la gráfica consta de dos coordenadas: la primera es el valor de t y la segunda, el valor de V.

Representación gráfica de funciones

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que aprenderás a representar gráficamente una función a partir de su tabla de valores. Las funciones son las que sirvieron de ejemplo en la actividad del apartado anterior.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan los puntos de la gráfica de una función en unos ejes de coordenadas cartesianos.

Funciones dadas mediante gráficas

Tutorial 1 (25'04") Sinopsis:

La primera parte del tutorial recuerda los conceptos básicos sobre funciones: variable independiente, dependiente, imagen, preimagen, dominio, recorrido... En la segunda parte se muestran ejemplos de funciones dadas mediante gráficas.

Tutorial 2: Gráficas engañosas (4'54") Sinopsis:

Ejemplo de cómo se pueden usar las gráficas de forma engañosa en publicidad.

El lenguaje de las gráficas (13´) Sinopsis:

Las gráficas de contenido matemático se han convertido en el lenguaje más universal de finales del siglo XX. En cualquier medio de comunicación cada vez que se quiere dar información cuantitativa de un proceso aparece una gráfica matemática. Sus ventajas son incuestionables, son capaces de ofrecer gran cantidad de información de un simple vistazo. Constituyen un instrumento imprescindible en campos tan dispares como la medicina, la economía, la física, la biología y hasta en el deporte. En este programa investigaremos su origen relativamente reciente, tienen poco más de 200 años de existencia, y sus distintas aplicaciones y daremos algunos consejos para interpretar de forma crítica la información presentada en forma de gráficas.

Ejercicio 1 (0'35") Sinopsis:

Halla f(6) a partir de la gráfica de f(x).

Ejercicio 2 (1'50") Sinopsis:

Halla 2·f(8) + 8·g(8) a partir de las gráficas de f(x) y g(x).

Funciones dadas mediante gráficas

Actividad 1 Descripción:

Función que relaciona el tiempo que lleva abierto un grifo y la altura que alcanza el nivel del agua en un depósito cilíndrico.

La siguiente escena representa una botella (en color rojo) que cuando abras el grifo se comenzará a llenar de agua. El proceso de llenado de la botella se puede describir matemáticamente con lo que llamamos función, así para un tiempo concreto la función nos dice la altura de la botella en ese momento. El dibujo que queda tras el punto A se llama gráfica de la función.

Haz clic en el botón y dejándolo pulsado observa cómo se llena la botella .

Observa que en el eje horizontal representamos el tiempo que dejamos el grifo abierto y en el vertical la altura que el agua alcanza en la botella. En el eje horizontal hemos empezado a marcar 1 segundo, 2 segundos, etc.

Observa en este ejemplo, que la altura es cero cuando el tiempo transcurrido es cero y que la gráfica va creciendo.

a) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas.

Si haces clic sobre un punto con el cursor te aparecerán los valores horizontal (tiempo) y vertical (altura) para ese punto.

b) ¿Qué puedes decir de la relación entre las variables tiempo y altura?

c) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse hasta la mitad?

d) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse un cuarto? ¿Y tres cuartos?

Actividad 2 Descripción:

Función que relaciona el tiempo que lleva abierto un grifo y la altura que alcanza el nivel del agua en un depósito de forma cónica.

En la siguiente escena la forma de la botella ha cambiado.

a) Intenta hacer la gráfica antes de ver como queda en la escena.

b) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas.

c) ¿Qué puedes decir de la relación entre las alturas y los tiempos?

d) Ahora la altura del agua según pasa el tiempo sube más despacio, ¿por qué?

Ahora prueba a cambiar la forma de la botella moviendo el punto P.

e) Haz una botella con la boca más estrecha que la base y observa las distintas gráficas que se generan. Da una explicación de lo qué ocurre.

f) Las gráficas unas veces son convexas (tipo U) y otras cóncavas (tipo U invertida), ¿de qué depende?

Autoevaluación 1 Descripción:

Evalúa funciones a partir de su gráfica.

Autoevaluación 2 Descripción:

Evalúa expresiones con funciones.

El lenguaje de las gráficas (13´) Sinopsis:

Dominio e imagen de una función

El conjunto de valores de la variable independiente, $x\;$ , para los que hay un valor de la variable dependiente, $y\;$ , se llama dominio de definición de la función. Se denota $Dom_f\;$ .

El conjunto de valores que toma la variable independiente, $y\;$ , se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota $Im_f\;$ .
Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.

Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

t = "Tiempo que está abierto el grifo".

V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito".

Dominio: El tiempo que el grifo puede estar abierto es un número que varía entre 0 segundos y 100 segundos: $Dom_f=[0,100]\;$
Recorrido: El volumen de agua que se ha llenado el depósito es un número que varía ente 0 litros y 200 litros: $Im_f=[0,200]\;$

Puntos de corte con los ejes y signo de una función

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de la gráfica que pertenecen a los ejes de coordenadas:

Puntos de corte con el eje de abscisas (eje X): Son aquellos puntos de la función en los que la variable dependiente, $y\;$ , toma el valor cero.
Punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y): Es aquel punto de la función en el que la variable independiente, $x\;$ , toma el valor cero.

Puntos de corte con los ejes de una función (3'35") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo de los puntos de corte con los ejes de una función dada su gráfica.

Una función decimos que es positiva cuando la variable independiente toma valores positivos y decimos que es negativa cuando toma valores negativos.
El estudio del signo de una función consistirá en determinar para qué valores de la variable independiente la función es positiva o negativa.

Signo de una función (6'34") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio del signo de una función dada su gráfica.

Existe un error en el minuto 5:05 cuando se expresa los valores donde se alcanzan valores positivos, ya que el valor máximo que puede tomar la x es 6 y no infinito

Ejercicios

Ejercicios resueltos: Interpretación de gráficas

La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto.

a) ¿Cuáles son las variables relacionadas?

b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje?

c) ¿A qué altura se encuentra el nido?

d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa?

e) ¿Qúe altura máxima alcanza el águila en su vuelo?. ¿Y la mínima?

f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80?

Solución:

a) La variable dependiente es la altura (en metros) y la variable independiente es el tiempo (en segundos).

b) En el eje horizontal, cada cuadrito representa 10 s. En el vertical 10 m.

c) El nido está situado a una altura de 70 m.

d) El vuelo dura 3'20". Da caza a la presa 1'50" después de salir del nido.

e) La altura máxima es 92 m., aproximadamente. La mínima 0 m.

f) En ese intervalo la función es constante, lo que significa que el águila se mantiene volando a la misma altura.