Ecuaciones de primer grado (3ºESO Académicas)
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Tabla de contenidos |
Introducción
En el siguiente videotutorial condensa todo el tema que se desarrolla a continuación y nos recuerda una serie de conceptos previos:
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Todo lo que necesitas saber para resolver ecuaciones de primer grado. Tutorial que explica de forma completa la resolución de ecuaciones de primer grado, empezando con algunos conceptos teóricos y resolviendo muchos ejericios desde muy sencillos, para entender mejor las propiedades de la regla de la suma y del producto, hasta más completos.
- 0:00 Introducción
- 0:40 Definiciones: ecuaciones, expresión algebraica.
- 2:34 Definiciones: Identidad y absurdo.
- 4:29 Definiciones: Soluciones de una ecuación.
- 5:36 Cómo comprobar una solución / cómo se resuelve.
- 8:20 Propiedades: grados de una ecuación y número de soluciones.
- 9:49 Propiedades: Regla de la suma.
- 13:40 Propiedades: Regla del producto.
- 15:58 Despejar la variable (resolver una ecuación).
- 22:40 Pasos a seguir para resolver cualquier ecuación de primer grado.
- 25:13 Ejemplos: Ejemplo 1 (con paréntesis).
- 28:10 Ejemplos: Ejemplo 2 (con denominadores).
- 31:21 Ejemplos: Ejemplo 3 (con denominador sólo en un lado).
- 34:14 Ejemplos: Ejemplo 4 (fracciones y paréntesis).
- 38:15 Identificando identidad y absurdo.
(Pág. 106)
Ecuación de primer grado
(Ecuación de primer grado con una incógnita)
(Ecuación de primer grado con dos incógnitas)
(No es de primer grado, ya que el polinomio del miembro izquierdo tiene grado 2)
Nota: Una ecuación de primer grado puede no parecerlo antes de reducirla. Será necesario operar y transponer términos antes de poder determinar el tipo de ecuación. Por ejemplo, la ecuación puede tener algunos monomios de grado 2 o superior pero conseguir que éstos desaparezcan tras reducirla, quedando sólo términos de grado 1.
parece de segundo grado, pero al reducirla queda
que es de primer grado.
parece de primer grado, pero al reducirla queda
, o bien,
, que es de grado cero.
Ecuación de primer grado con una incógnita
Solución de la ecuación de primer grado con una incógnita
Toda ecuación de primer grado con una incógnita se puede reducir a la forma:
![ax+b=0\;\!](/wikipedia/images/math/6/3/3/6333fb005f250cdd38782c43939cd74a.png)
con , cuya única solución es:
![x= -\cfrac{b}{a}](/wikipedia/images/math/e/4/c/e4ced78adef906638b130f061fc4df18.png)
Nota: Si al reducir la ecuación de partida resulta que el coeficiente de primer grado es , entonces la ecuación de partida no es realmente de primer grado, sino de grado cero. Estos caso especiales los estudiaremos en otro apartado de este tema.
En la siguiente escena tienes ejemplos de soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Pulsa los botones para ver más ecuaciones.
Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita sencillas.
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Transformaciones que mantienen la equivalencia de las ecuaciones
A partir de una ecuación podemos obtener otra equivalente si efectuamos alguna de las siguientes operaciones:
- Regla de la suma: Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros de la igualdad. (Así, lo que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro. Y viceversa.)
- Regla del producto: Multiplicar o dividir los dos miembros de la igualdad por un mismo número distinto de cero. (Así, lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa.)
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial en el que se muestra como expresar cualquier ecuación en su forma general o canónica. El proceso requerirá del uso de la regla de la suma y del producto para obtener ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones equivalentes.
Resolución de ecuaciones de primer grado
Procedimiento
Para resolver una ecuación de primer grado hay que transformarla en otras ecuaciones equivalentes, cada vez más sencillas, hasta conseguir despejar la incógnita.
Los pasos que hay que dar pueden ser los siguientes, aunque algunos pueden variar de orden según los casos:
- Quitar denominadores, si los hay (multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores).
- Quitar paréntesis, si los hay.
- Transponer términos, pasando las incógnitas a un lado y los números al otro (Usaremos la primera de las transformaciones descritas en el apartado anterior)
- Simplificar cada miembro (agrupando términos numéricos y términos con incógnita) hasta obtener una expresión del tipo
.
- Despejar la incógnita, x, obteniendo la solución (Usaremos la segunda de las transformaciones descritas en el apartado anterior, siempre que
. (Si fuese
, estaríamos un caso especial que se analizará en el apartado de "casos especiales".)
- Podemos, opcionalmente, comprobar la solución. Para ello sustituiremos la incógnita por la solución en los dos miembros de la ecuación de partida y los resultados deben coincidir.
Casos especiales
Tras efectuar el procedimiento anterior, si en la expresión del paso 4º, resultase que el coeficiente de la variable
es cero, tendríamos:
![0 \cdot x=b\,](/wikipedia/images/math/b/f/5/bf5cd1625c4735cc6b57438e61dc2f1b.png)
Entonces, al no poder dividir por 0 para despejar la (paso 5º), llegaríamos a uno de los siguientes dos casos especiales:
Casos especiales
-
La ecuación no tiene solución.
-
La ecuación tiene infinitas soluciones.
Si
, como el miembro de la izquierda es siempre igual a cero, sea cual sea el valor de
, la igualdad es imposible. Por tanto no hay solución.
-
El miembro de la izquierda es siempre igual a cero, por tanto, sea cual sea el valor de
, la igualdad se cumple. Luego, cualquier número es solución de la ecuación.
-
No tiene solución, ya que no hay ningún número que multiplicado por 0 de 7.
-
La ecuación tiene infinitas soluciones, ya que cualquier número multiplicado por 0 da 0.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Resuelve:
- a)
- b)
- c)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Completa la ecuación para que no tenga solución:
- 7x - 9 = ___ x + ___
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Completa la ecuación para que tenga infinitas soluciones:
- 4(x - 2) + x = 5x + ___
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Número de soluciones de una ecuación de primer grado.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Número de soluciones de una ecuación de primer grado.
Actividades
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Resuelve:
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Resuelve:
a)
b)
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Resuelve:
a)
b)
c)
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Resuelve:
a)
b)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Resuelve:
a)
b)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Resuelve:
a)
b)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Despeja x en la siguiente ecuación con coeficientes desconocidos:
Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de primer grado más complejas.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre resolución de ecuaciones de primer grado.
![](/wikipedia/images/thumb/1/17/Melide.jpg/22px-Melide.jpg)
Autoevaluación sobre ecuaciones de primer grado.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Ecuaciones de primer grado con coeficientes desconocidos.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de primer grado.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Resolución de ecuaciones de primer grado |
Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado
Procedimiento
Para resolver un problema mediante una ecuación hay que seguir los siguientes pasos:
- Determinar la incógnita.
- Traducir el enunciado del problema al lenguaje algebraico mediante una ecuación en la que intervenga la incógnita.
- Resolver la ecuación, es decir, hallar el valor de la incógnita.
- Dar la solución del problema a partir del valor obtenido de la incógnita.
Aquí tienes una colección de problemas con un nivel de dificultad bajo para que vayas cogiendo práctica.
Pulsa el botón EJEMPLO para ver más problemas.
Pulsa el botón DATOS para ver otro problema similar, pero con datos diferentes.
Planteamiento de problemas:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Como se traducen expresiones del lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas y su uso en el planteamiento de ecuaciones.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
2 problemas.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
1 problema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
2 problemas.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
1 problema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
2 problemas.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
1 problema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
1 problema.
Problemas:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Al levantarse por la mañana, el ratoncito Pérez encuentra un trozo de pan. Se come 3/5 para desayunar y 7/8 del resto para merendar, con lo que le quedan 10 gramos para la cena. ¿Cuanto pesaba el pan?
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Determina el respectivo precio de bocadillos y refrescos en un bar si un bocadillo cuesta un euro más que un refresco y el importe de una consumición de 3 refrescos y 5 bocadillos es de 2 euros.
- Tres hermanos tienen respectivamente 7,9 y 12 años, y su madre 36 años. ¿Cuántos años deben pasar para que la edad de la madre sea suma de las edades de sus hijos?
- La edad de un hijo es la quinta parte de la de su padre, y dentro de 7 años, la edad del padre triplicara la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?
- Un hijo tiene 30 años menos que su padre, y la edad de este cuadruplica la de aquél. ¿Qué edad tiene cada uno?
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Un reloj marca las 6 en punto. ¿A qué hora forman las agujas por primera vez un ángulo de 92 grados?
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Un reloj marca las 6 en punto. ¿A qué hora forman las agujas por segunda vez un ángulo de 90 grados?
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Un reloj marca las 6 en punto. ¿A qué se superponen las agujas por primera vez?
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Los ángulos de un triángulo miden ,
y
. Determina el valor de dichos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Los ángulos de un cuadrilátero miden ,
,
y
. Determina el valor de dichos ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
3 problemas con números consecutivos
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Determinar el área de un rectángulo que tiene 60 cm de perímetro, si la razón entre sus lados es 3:2.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Hallar tres números consecutivos cuya suma sea igual al doble del mayor, incrementado en 26.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Un comerciante tiene 3000$ para invertir en dos negocios: uno que produce un 5% de beneficio y otro un 9%. ¿Qué cantidad debe destinar a cada negocio para conseguir un rendimiento neto del 8% con ese capital?.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Si tenemos 2000$ para invertir al 6% y al 8.5% anual, ¿cuánto deberemos destinar a cada inversión con el fin de obtener un rendimiento total de 300$ después de 2 años?.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Una empresa fabrica un artículo con un coste variable por unidad de 3$. Si los costes fijos son de 75000$ y cada artículo se vende por 5$, ¿cuántas unidades deben producirse y vender para que la empresa obtenga unos beneficios de 40000$?
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Vídeotutorial con 4 problemas que se resuelven utilizando ecuaciones.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial practico en el que aparecen dos problemas resueltos mediante ecuaciones. Estos problemas son del tipo en el que se reparte algo entre varias personas y existe una relación entre lo que recibe cada uno de ellos.
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Problema con porcentajes.
Problemas de edades:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
2 problemas.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
1 problema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
1 problema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
1 problema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
1 problema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
1 problema.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
1 problema.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
En 40 años, Benito tendrá 11 veces la edad que tiene actualmente. ¿Qué edad tiene Benito?
Problemas de mezclas:
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Problema de mezclas con sales de baño.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Se dispone de dos clase de café: uno de 1.05$ y otro de 1.25$ la libra. ¿Qué cantidad se utiliza de cada uno para obtener café de 1.20$ la libra, si de la clase más cara se utilizan 20 libras más que de la barata?
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
¿Cuántos litros de una solución de alcohol al 30% deben mezclarse con 90 litros de otra solución al 70% para obtener una solución al 60%?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Si tienes 50 onzas de una solución salina al 25% (mezcla de agua con sal), ¿Cuántas onzas de solución salina al 10% debes agregar para obtener una nueva solución salina al 15%?
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Un biólogo realiza una investigación sobre el impacto de tres diferentes bebidas azucaradas a base de agua en la habilidad de las abejas de producir miel. Coge 2 litros de la bebida A, que contiene 40% de azúcar, y agrega 1.2 litros de bebida B. Comprobó que las abejas preferían esta nueva solución, que llamaremos bebida C, la cual medimos que contiene 25% de azúcar. ¿Cuál es el porcentaje de azúcar de la bebida B?
Problemas con segmentos:
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Problema en el que la incógnita es la medida de la longitud de un segmento de recta.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Problema en el que la incógnita es la medida de la longitud de un segmento de recta.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Problema en el que la incógnita es la medida de la longitud de un segmento de recta.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Problema en el que la incógnita es la medida de la longitud de un segmento de recta.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Problema en el que la incógnita es la medida de la longitud de un segmento de recta.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Problema en el que la incógnita es la medida de la longitud de un segmento de recta.
Actividades en la que aprenderás a resolver problemas con ecuaciones de primer grado de distintos tipos.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Problemas de autoevaluación sobre móviles.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Problemas de autoevaluación sobre relojes.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Problemas de autoevaluación sobre grifos.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Problemas de autoevaluación de mezclas.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Problemas de autoevaluación de aleaciones.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Problemas de autoevaluación geométricos.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Problemas resueltos con ecuaciones de primer grado.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Problemas resueltos con ecuaciones de primer grado.
Ejercicios resueltos
- Un repostero ha mezclado 12 kg de azúcar de 1.10 €/kg con una cierta cantidad de miel de 4.20 €/kg para que la mezcla le salga a 2.34 €/kg. ¿Cuánta miel tuvo que poner?
- La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 280 km. Untren sale de A hacia B a 80 km/h, y media hora más tarde sale un coche de B hacia A que tarda 1.2 horas en cruzarse con el tren. ¿Qué velocidad lleva el coche?
- Tres amigos trabajan 20, 30 y 50 días en un negocio. Al cabo de tres meses se reparten los beneficios y al tercero le corresponden 300 € más que al segundo. ¿Cuál es la cantidad repartida?
- Dos grifos llenan un depósito en 3 horas. Si sólo se abre uno de ellos, tardaría 5 horas. ¿Cuánto tardará el otro grifo en llenar el depósito?
Solución 1:
x = kg de miel
kg de miel
Solución 2:
x = velocidad del coche
km/h
Solución 3:
x = beneficio del 1º
€ corresponden al primero.
y = beneficio del 2º
€ corresponden al segundo.
La cantidad repartida es : 300+450+750=1500 €
Solución 4:
1/5 = fracción de depósito que llena uno de los grifos en 1 h
x = fracción de depósito que llena el otro grifo en 1 h
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado |