Sucesos aleatorios (3ºESO)

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Fenómeno o experimentos aleatorio

Un fenómeno o experimento aleatorio es aquel en el que no se puede preveer, con certeza, el resultado que va tener lugar al observar el fenómeno o al realizar el experimento. El resultado depende del azar. En caso contrario, se dirá que es determinista.

Ejemplo

Al lanzar una moneda al aire, no sabemos si va a salir cara o cruz. Por tanto, se trata de un experimento aleatorio en el que los posibles resultados son "salir cara" o "salir cruz".
Si nos preguntamos si lloverá mañana, caben dos posibilidades: "si" o "no", y no sabemos con certeza que ocurrirá.
Si metemos un agua en un congelador a -20ºC, ésta se congela. Se trata de un experimento determinista.

Espacio muestral

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento aleatorio. Lo denotamos con la letra $E \;$ , o bien, $\Omega \;$ .

Ejemplo: Espacio muestral

¿Cuál es el espacio muestral asociado al experimento de "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos"?

Solución:

$E = \left\{ \, 2, \, 3, \, 4 , \, 5, \, 6 , \, 7, \, 8, \, 9, \, 10, \, 11, \, 12 \, \right\}$

Ejercicios: Espacio muestral

1.Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a) Lanzar tres monedas.

b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.

d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.

Solución:

a) Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:

E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}

b) E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

c) Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:

E={BB,BN,NN}

d) Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:

E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

Sucesos

Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral $E\,$ . Para designar cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.
Al conjunto de todos los sucesos que pueden tener lugar en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por $S\,$ .

Proposición

Si el cardinal de $E\,$ es un número finito, $n\,$ , entonces el cardinal de $S\,$ es $2^n\,$

Demostración:

Demostración:

Como E tienen n elementos, y cada uno de ellos tiene 2 posibilidades ("estar" o "no estar" en un subconjunto de E) entonces los casos posibles son $2^n\;$ .

Ejemplo: Sucesos

En el experimento "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos", determina los siguientes sucesos del espacio muestral:

a) Salir múltiplo de 5. b) Salir número primo. c) Salir mayor o igual que 10.

Solución:

a) Salir múltiplo de 5: $A = \left\{ \, 5, \, 10 \, \right\}$

b) Salir número primo: $B = \left\{ \, 2, \, 3, \, 5, \, 7, \, 11 \, \right\}$

c) Salir mayor o igual que 10: $C = \left\{ \, 10, \, 11, \, 12 \, \right\}$

Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.

Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento.
Sucesos compuestos son los que estan formados por dos o más resultados del experimento, es decir, por dos o más sucesos elementales.
Suceso seguro es el que ocurre siempre que se realice el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.
Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por $\emptyset$ .
Suceso contrario de un suceso $A\;$ es el ocurre cuando no ocurre el suceso $A\;$ . Se representa $\overline{A}$ .