El significado de las fracciones (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Las fracciones
3 Fracciones propias e impropias
- 3.1 Números mixtos
4 La fracción como operador
5 Ejercicios y problemas

(Pág. 122)

Introducción

Los números enteros surgen porque no bastaba con los números naturales para cubrir ciertas necesidades. Sin embargo, tampoco los enteros son suficientes. Hay muchas situaciones en las que necesitamos representar unidades incompletas. Por ejemplo, cuando vas al supermercado y compras un cuarto de kilo de gambas, es porque tienes suficiente con solo una parte y no necesitas la totalidad del kilo; o cuando te dicen que el 99% de una medusa es agua, te queda muy claro que le falta muy poco para ser toda agua, pero que no lo es en su totalidad.

Para estos casos se inventaron las fracciones. Curiosamente, desde un punto de vista histórico, las necesidad de las fracciones fue cubierta antes que la necesidad de los números negativos. Probablemente sea más natural hablar de partes incompletas de algo (fracciones) que de partes que "no están" (negativos). Fueron los egipcios, hace más de 3500 años, los primeros en usar fracciones. No utilizaban la barra que usamos nosotros para separar numerador de denominador, sino un símbolo parecido a un ojo, y sólo usaban el 1 como numerador (fracciones unitarias), pero sentaron las bases de lo que hacemos nosotros hoy en día.

Fig. 1: Fracciones egipcias

Un toque divertido para empezar el tema:

Las aventuras de Troncho y Poncho: Fracciones (7'06") Sinopsis:

Si no fuera por las fracciones ni Troncho ni Poncho ni nadie podría celebrar su cumpleaños.

Puedes encontrar ejercicios sobre este vídeo y material similar en: http://www.angelitoons.com/

Las fracciones en nuestra vida cotidiana Descripción:

Actividades en las que se resume lo que se va a ver en este tema.

Las fracciones

Cuando necesitamos expresar cantidades que representan unidades incompletas o partes de la unidad, además de los números decimales, disponemos de las fracciones.

Una fracción es una expresión de la forma $\frac{a}{b}\;$ , o bien, $a/b\;$ , donde $a\;$ y $b\;$ son números enteros, siendo $b \ne 0 \;$ .

Al número $a\;$ lo llamaremos numerador y al número $b\;$ , denominador.

Observación:

Una fracción se puede interpretar como una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales:

El denominador sirve para representar las partes en que se divide la unidad.

El numerador sirve para representar las porciones que tomamos.

El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador. Según su valor, una fracción pueden ser:

Un número entero: Si el resultado de hacer la división es exacto.
Un número fraccionario: Si el resultado de hacer la división no es exacto.

Observación:

Esta definición nos da otra forma de interpretar a una fracción, ya que nos permite verla como una "división indicada" en las que el dividendo es el numerador y el cociente el denominador.

$Fig. 2: Fracciones representadas mediante diagramas de tarta. La unidad es también una fracción cuyo numerador y denominador valen ambos 1$

Fig. 2: Fracciones representadas mediante diagramas de tarta. La unidad es también una fracción cuyo numerador y denominador valen ambos 1

Fig. 3: Coger 2 partes de 5 equivale a coger 4 décimas de 1 unidad.

Ejemplo:

En la Fig. 2 tienes algunos ejemlos de fracciones representadas mendiante los llamados diagramas de tarta.

El valor de cada fracción se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador:

$\cfrac{1}{1}= 1 \, ; \qquad \cfrac{1}{2}= 0.5 \, ; \qquad \cfrac{1}{4}=0.25 \, ; \qquad \cfrac{3}{4}= 0.75$

Fíjate que la unidad se puede representar mediante una fracción que tenga el mismo numerador que denominador.

En la Fig. 3 está representada la fracción 2/5. Fíjate como al hacer la división 2:5=0.4, se obtienen 4 décimas, que ocupan la misma porción que la fracción 2/5. Es decir, una fracción equivale a una división indicada.

Fracciones

Tutorial 1 (1'28") Sinopsis:

Concepto de fracción. Términos. ¿Cómo se leen?

Tutorial 2 (5'08") Sinopsis:

Representación gráfica de fracciones y de su expresión decimal.

Tutorial 3 (7'06") Sinopsis:

Concepto de fracción. Fracciones propias e impropias.

Tutorial 4 (8'17") Sinopsis:

Concepto de fracción. Fracciones propias e impropias.

Tutorial 5 (19'26") Sinopsis:

Tutorial que explica el concepto de fracción y su representación gráfica, en partes de la unidad y en la recta numérica.

00:00 a 04:14: Conceptos básicos. Ejemplos introductorios.
04:14 a 05:38: Definición matemática de fracción.
05:38 a 09:45: Representación de fracciones como partes de la unidad (Ejemplos).
09:45 a 19:26: Representación de fracciones en la recta numérica (Ejemplos).
11:25 a 13:45: Aplicación del Teorema de Tales para la división de segmentos en partes iguales.

Tutorial 6a (6'13") Sinopsis:

Fracciones unitarias (con numerador 1).

Tutorial 6b (2'52") Sinopsis:

Importancia de dividir bien en partes iguales a la hora de representar fracciones gráficamente.

Tutorial 6c (5'36") Sinopsis:

Tomando más de una parte del total.

Tutorial 6d (1'50") Sinopsis:

Fracciones más grandes que la unidad.

Tutorial 6e (3'48") Sinopsis:

Numerador y denominador de una fracción.

Tutorial 6f (4'29") Sinopsis:

Fracciones en la recta numérica.

Ejercicio 1 (2'30") Sinopsis:

El plato de la cena de Vera está dividido en 3 secciones iguales. Si Vera puso brócoli en una sección del plato. ¿Qué fracci´´on del plato tiene brócoli?

Ejercicio 2 (1'21") Sinopsis:

Representa el punto 3/4 en la recta numérica.

Fracciones

Actividad 1 Descripción:

Actividades sobre el significado de las fracciones.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre el significado de las fracciones.

Actividad 3: Representación gráfica Descripción:

Actividad en la que se muestra y practica el concepto de fracción.
Actividad en la que se explica y practica la representación gráfica de fracciones.

Actividad 4: ¿Cómo se leen? Descripción:

Actividades en las que se explica y practica cómo se lee una fracción.

Actividad 5: Representación en la recta numérica Descripción:

Haz en tu cuaderno la representación de las siguientes fracciones en la recta numérica: a) $\cfrac {3}{5}$ b) $\cfrac {7}{2}$ c) $-\cfrac {8}{3}$ d) $-\cfrac {4}{7}$ e) $\cfrac {1}{10}$ f) $\cfrac {14}{4}$

Compruéba las soluciones en la siguiente escena:

Actividad 6: La fracción como parte del todo y como división indicada Descripción:

Autoevaluación 1 Descripción:

Corta figuras en partes iguales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Reconoce fracciones.

Autoevaluación 3 Descripción:

Identifica numeradores y denominadores.

Autoevaluación 4 Descripción:

Las fracciones en la recta numérica

Autoevaluación 5 Descripción:

Fracciones unitarias en la recta numérica

Fracciones propias e impropias

¿Qué pasa si el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo se interpreta el hecho de tomar más partes de la unidad de las que que hay?

Vamos a dar respuesta a estas preguntas a continuación, pero primero necesitamos ver los conceptos de fracción propia e impropia.

Fracciones propias son aquellas cuyo numerador (en valor absoluto) es menor que el denominador (en valor absoluto). Su valor absoluto es menor que 1.
Fracciones impropias son aquellas que no son propias. Su valor absoluto es mayor que 1.

Ejemplos:

$\cfrac{3}{5}\;$ es una fracción propia porque 3 < 5.

$\cfrac{7}{2}\;$ es una fracción impropia porque 7 > 2.

Fracciones propias e impropias (12'11") Sinopsis:

Representación gráfica de fracciones propias e impropias.

Fracciones propias e impropias Descripción:

Actividad en la que debes separar las fracciones propias de las impropias

Fracciones propias e impropias

Actividad: Números racionales

a) Representa la fracción 7/9 en forma de diagrama de tarta.

b) Representa la fracción 22/6 en forma de diagrama de tarta.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) pie chart 7/9

b) pie chart 22/6

Las fracciones impropias representan algo mayor que el todo, es decir, cuando trabajamos con una fracción impropia damos a entender que tenemos unidades completas de algo y, posiblemente, alguna unidad incompleta.

Esto queda de manifiesto en la proposición y en los ejemplos que damos a continuación.

Proposición

Toda fracción impropia, $\cfrac{D}{d}\;$ , se puede escribir como suma de un número entero y una fracción propia.

$\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}$

donde $c\;\!$ es el cociente y $r\;\!$ es el resto de la división de $D\;\!$ entre $d\;\!$ .

Demostración:

Basta aplicar el algoritmo de la división:

$D=d \cdot c + r$

y, a continuación, dividir todos los términos por $d\;\!$

$\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}$

$Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta$

Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta

$\cfrac{10}{8}= 1 +\cfrac{2} {8} > 1$

Ejemplos:

Ejemplo 1:

La fracción $\cfrac{10}{8}$ es impropia.

Es mayor que la unidad y podemos expresarla como número mixto (Ver Fig. 4):

$\cfrac{10}{8}= \cfrac{8}{8} + \cfrac{2}{8} = 1 +\cfrac{2}{8}$

Ejemplo 2:

La frácción $\cfrac{35}{8}$ es impropia. La podemos decomponer en la suma de un entero y una fracción propia.

Para ello, dividimos 35 entre 8:

$35=4 \cdot 8 + 3$

El dividendo $D=35\;\!$ , el divisor $d=8\;\!$ , el cociente $c=4\;\!$ y el resto $r=3\;\!$ .

Aplicando la proposición anterior:

$\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}$

y sustituyendo cada letra por su valor:

$\cfrac{35}{8}=4+\cfrac{3}{8}$

Actividades Descripción:

Actividades sobre el signo de las fracciones y sobre la descomposición de fracciones impropias como suma de un entero y una fracción propia.

Números mixtos

Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia como un número entero más una fracción propia, en la que se omite el signo de suma.

$a \begin{matrix} \frac{b}{c} \end{matrix}=a+\cfrac{b}{c} \ \ ,\ (b<c)$

Aviso:

La fracción situada a la derecha del entero suele escribirse con una tipografía de menor tamaño para que no se confunda con una multiplicación de un número por una fracción.

Ejemplo:

La fracción $\cfrac{10}{8}\;$ de la Fig. 4 hemos visto que se puede expresar mediante el número mixto $1 \begin{matrix} \frac{2}{8} \end{matrix}$ :

$1 \begin{matrix} \frac{2}{8} \end{matrix}=1+\cfrac{2}{8}=\cfrac{8}{8}+\cfrac{2}{8}= \cfrac{10}{8}$

Números mixtos

Tutorial 1 (4'28") Sinopsis:

Números mixtos. Ejemplos de paso de forma fraccionaria a mixta y viceversa.

Conversión de fracción impropia a número mixto

Tutorial 1 (7'16") Sinopsis:

Conversión de fracción impropia a número mixto.

Tutorial 2 (3'14") Sinopsis:

Conversión de fracción impropia a número mixto.

Tutorial 3 (5'32") Sinopsis:

Escribiendo una fracción impropia com un número mixto

Ejercicio 1 (3'14") Sinopsis:

Convierte a número mixto la siguiente fracción impropia: $\cfrac{89}{5}$

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Ejercicio 2 (3'18") Sinopsis:

Convierte a número mixto la siguiente fracción impropia: $\cfrac{79}{6}$

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Conversión de número mixto a fracción impropia

Tutorial 1 (5'50") Sinopsis:

Conversión de número mixto a fracción impropia.

Tutorial 2 (7'50") Sinopsis:

Conversión de número mixto a fracción impropia.

Ejercicio 1 (1'03") Sinopsis:

Convierte a fracción impropia el siguiente número mixto: $6 \begin{matrix}\frac{3}{4}\end{matrix}$

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Ejercicio 2 (1'14") Sinopsis:

Convierte a fracción impropia el siguiente número mixto: $-8 \begin{matrix}\frac{2}{5}\end{matrix}$

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Números mixtos

Actividad Descripción:

Números mixtos y fracciones impropias.

Autoevaluación Descripción:

Actividades de nivel variable en las que deberás obtener la forma mixta de una fracción.

Calculadora: Fracciones mixtas

A) Para convertir una fracción impropia a forma mixta usaremos la tecla

B) Para pasar de nuevo a fracción impropia pulsaremos otra vez

Ejemplo:

Operación: A) $\cfrac {7}{3} \ \rightarrow \ 2 \begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}$ ; B) $2 \begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix} \ \rightarrow \ \cfrac {7}{3}$

Nota: $2 \begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}=2+\cfrac{1}{3}$

Procedimiento: A) $7\;\!$ $3\;\!$ B)

Solución: A) $2 \lnot 1 \lnot 3$ ; B) $7 \lnot 3\;\!$

Números mixtos

Actividad: Expresar fracciones en forma de número mixto

a) Expresa en forma de número mixto: $\cfrac{66}{8}.$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) mixed fraction 66/8

La fracción como operador

Supongamos que tenemos una cierta cantidad (que llamaremos "el total") y que queremos saber cuánto es una determinada fracción de dicha cantidad (que llamaremos "la parte"). En tal caso, diremos que la fracción actúa como operador de dicha cantidad y procederemos de la siguiente manera : Dividimos la cantidad total entre el denominador, para calcular cuantos grupos del tamaño del denominador podemos hacer, y multiplicamos por el numerador, que representa la cantidad de esos grupos que tomamos.

Fracción de una cantidad

Para calcular una fracción a/b de una cantidad C se divide la cantidad entre el denominador y se multiplica por el numerador. (También podemos multiplicar primero por el numerador y dividir después por denominador, o incluso calcular el valor de la fracción y multiplicarlo por C).

$\cfrac{a}{b} \ \mbox{de} \ C = \cfrac{C}{b} \cdot a = \cfrac{a \cdot C}{b}= \cfrac{a}{b} \cdot C$

Ejemplo 1: Cálculo de la parte conocido el total

Si de un depósito de agua, en el que caben 20 l, sólo están llenas las 2/5 partes, ¿cuánta agua hay en el depósito?

Solución:

Se divide la capacidad total del depósito entre 5, que es el número de partes en que hemos dividido la unidad (el depósito). El resultado se multiplica por 2, que son las partes de depósito que estan llenas:

$\cfrac{2}{5} \ \mbox{de} \ 20=\cfrac{2}{5} \cdot 20 = \cfrac{20}{5} \cdot 2= 4 \cdot 2 = 8 \ l$

Actividades: La fracción como operador Descripción:

Actividad para practicar el cálculo de la fracción de una cantidad de forma guiada.

Actividades: La fracción como operador Descripción:

Ejemplo 2: Cálculo del total conocida la parte

Un depósito de agua tiene 8 l, que son las 2/5 partes de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad total del depósito?

Solución:

Paso a paso:

$\cfrac{2}{5} \ de \ dep \acute{o} sito = 8 \, l \rightarrow \cfrac{1}{5} \ de \ dep \acute{o} sito= 8:2=4 \, l \rightarrow \cfrac{5}{5} \ de \ dep \acute{o} sito = 5 \, \cdot \,4 = 20 \, l$

Directo:

Sea $x\;$ = capacidad del depósito.

$\cfrac{2}{5} \cdot x = 8 \ \rightarrow \ x= \cfrac{8 \cdot 5}{2} = \cfrac{40}{2}=20 \, l$

Esta técnica la aprenderemos cuando veamos las ecuaciones. De momento lo aplicaremos como una la regla práctica.

La fracción como operador

Tutorial 1 (5'14") Sinopsis:

La fracción como operador. Ejemplos.

Tutorial 2 (17'51") Sinopsis:

Tutorial en el que se dan los conceptos matemáticos de proporción y se explica/justifica como calcular proporciones de cantidades o bien la cantidad a la que se le aplicó una proporción.

Tutorial 3 (1'07") Sinopsis:

Cómo se calcula la fracción de un número.

Problema 1 (3'10") Sinopsis: