Factoriales y números combinatorios (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Factoriales
2 Números combinatorios
- 2.1 Coeficiente binomial
- 2.2 Propiedades de los números combinatorios

(Pág. 43)

Factoriales

Sea $n \in \mathbb{Z}^+$ , se define el factorial de $n\;$ como

$n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n$

y se define, por convenio:

$0! = 1 \;$ .

Ejemplo

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Un poco de historia

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (permutaciones). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.

La notación matemática actual, $n!\;$ , fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.

Factoriales

Tutorial (8'00") Sinopsis:

Los 8 primeros minutos de este tutorial tratan sobre el factorial de un número y ejemplos.

Ejemplo 1 (0'56") Sinopsis:

Calcula 10!

Ejemplo 2 (0'48") Sinopsis:

Calcula 8!

Ejemplo 3 (0'47") Sinopsis:

Calcula 5!

Ejemplos 4 (9'09") Sinopsis:

Factorial de un número. Ejemplos.

Ejercicio 1 (10'06") Sinopsis:

a) Halla "x": $\cfrac{(x+2)!}{(x+1)!}=10$

b) Halla "a": $\cfrac{(a+2)!}{a!}=\cfrac{4!}{2}$

Ejercicio 2 (8'15") Sinopsis:

a) Calcula $x^2+x+1\;$ sabiendo que $(x!)!=720\;$

b) Simplifica: $\cfrac{(a+8)!(a+6)!}{(a+7)!+(a+6)!}=14!$

Ejercicio 3 (13'30") Sinopsis:

a) Halla "a": $7 \cdot (6!)^2+a^2=2 \cdot (6!)(3a-6!)\;$

b) Halla "x": $\cfrac{(x-1)!+(x-2)!+(x-3)!}{(x-3)!}=25$

Factoriales

Actividad: Factoriales

Calcula:

a) $5! \;$

b) $\cfrac{n!}{(n-1)!}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 5!

b) simplify n!/(n-1)!

(Pág. 43)

Números combinatorios

Coeficiente binomial

Sean $n,k \in \mathbb{N} \ , n \ge k$ . Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por ${n\choose k}$ , al número de subconjuntos de $k\;$ elementos escogidos de un conjunto con $n\;$ elementos. También se suele decir que es el "número de combinaciones de $n\;$ elementos tomados de $k\;$ en $k\;$ " y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".

Proposición

El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:

${n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

Demostración:

Demostración:

Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de

$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot (n-k+1)$

formas, ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá n-k+1 opciones.

Ahora, para eliminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.

Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es

${n\choose k} = \frac{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{k!}$

Multiplicando el numerador y el denominador por $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-k) \;$

${n\choose k} = \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k)\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}{1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-k) \cdot k!}$

o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:

${n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

c.q.d.

Propiedades de los números combinatorios

Propiedades

${n\choose 0} = {n\choose n} = 1$
${n\choose k} = {n\choose n-k}$
${n-1\choose k-1} + {n-1\choose k} = {n\choose k}$

Demostración:

Demostración:

En un conjunto con n elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el $\varnothing$ ) y solo un conjunto con n elementos (el propio conjunto de partida).
En un conjunto con n elementos, cada subconjunto con k elementos tiene un complementario con n-k elementos.
Esta demostración no se da por su complejidad.