Plantilla:Ramas infinitas de las funciones racionales

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ejercicio

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada (es decir, si el numerador y el denominador tienen factores comunes, cosa que ocurre si se anulan simultáneamente en algún punto, factorizaremos y simplificaremos dichos factores):

f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;

La función f(x)\; (ya simplificada) tiene las siguientes ramas infinitas, si se da alguno de los siguientes casos:

  • Asíntotas verticales:
    • Si x=c\; es una raíz de Q(x), entonces la recta x=c\; es una asíntota vertical de f(x)\;.

  • Asíntotas horizontales:
    • Si n<m\;, entonces la recta y=0\; es una asíntota horizontal de f(x)\;, tanto por + \infty, como por - \infty.
    • Si n=m\;, entonces la recta y=\cfrac{a_n}{b_n}\; es una asíntota horizontal de f(x)\;, tanto por + \infty, como por - \infty.

  • Asíntotas oblicuas:
    • Si n-m=1\;, f(x)\; tienen una asíntota oblicua, tanto por + \infty, como por - \infty. Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre P(x)\; y Q(x)\;.

  • Ramas parabólicas:
    • Si n-m>1\;, entonces f(x)\; tiene una rama parabólica, tanto por + \infty, como por - \infty.

video
Ramas infinitas de funciones racionales
Ejercicio 1 (11'35")     Sinopsis:

Obtén las asíntotas de la función f(x)= \cfrac{x^3-3}{x^2-9}

Ejercicio 2 (16'19")     Sinopsis:

Obtén las asíntotas de la función f(x)= \cfrac{x^3+8}{x^2-4}

Ejercicio 3 (30'17")     Sinopsis:

Obtén las asíntotas de las funciones:

  1. f(x)= \cfrac{x}{x^2-4}
  2. f(x)= \cfrac{3x^2}{x^2+9}
  3. f(x)= \cfrac{x^3+2x^2+x-3}{x^2-1}
  4. f(x)= \cfrac{x^3-2}{2x+1}
  5. f(x)= \cfrac{x^3-4x}{x+2}
Ejercicio 4 (24'03")     Sinopsis:

Obtén las asíntotas de las funciones:

  1. f(x)= \cfrac{4x}{x^2+1}
  2. f(x)= \cfrac{x^3}{x^2-1}

Plantilla:Video enlace profesor10

ejercicio

Ejercicios resueltos

Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones:

a) y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}        b) y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}        c) y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}
Solución:

a) A.V.: x=0, x=2; A.H.: y=1

b) A.V.: x=2; A.O.: y=x-3

c) A.V.: x=3; R.I.

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:

Representador de funciones     Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

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