Ecuaciones de la recta

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Tabla de contenidos

1 Ecuación explícita de una recta
2 Ecuación general o implícita de una recta
3 Ecuación punto-pendiente de una recta
4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
5 Ejercicios

Ecuación explícita de una recta

La ecuación explícita de la recta viene dada por la ya conocida expresión:

$y=mx+n\;\!$

Ecuación general o implícita de una recta

La ecuación de la recta también la podemos expresar con todos los términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a cero. Es lo que se denomina:

Ecuación general o implícita de la recta:

$Ax+By+C=0\;\!$

Ejemplo: Ecuación general

Halla la ecuación general de la recta $y=3x+\cfrac{4}{3}$ .

Solución:

Nos dan la ecuación explícita:

$y=3x+\cfrac{4}{3}$

Tenemos que pasar todos los términos de la ecuación al lado izquierdo y ordenarlos:

$-3x+y-\cfrac{4}{3}=0$

Opcionalmente, podemos quitar denominadores:

$-9x+3y-4\;\!=0$

Ecuación punto-pendiente de una recta

Una recta queda perfectamente determinada por su inclinación y por un punto contenido en ella. Esto nos permite dar el siguiente resultado:

Ecuación punto-pendiente

Sea $(x_o,\ y_o)$ un punto de una recta y $m$ su pendiente, entonces su ecuación viene dada por:

$y-y_o=m(x-x_o)\;\!$

expresión que se denomina ecuación punto-pendiente de la recta.

Demostración:

Para comprobar que esta es la ecuación de la recta, comprobaremos que su pendiente es $m$ y que pasa por el punto dado $(x_o,\ y_o)$ . En efecto:

Si desarrollamos la expresión de la ecuación punto-pendiente, se obtiene:

$y-y_o=mx-mx_o\;\!$

$y=mx-mx_o+y_o\;\!$

de donde se observa que el coeficiente e la $x$ es $m$ , y por tanto, la pendiente de la recta.

Si sustituimos el punto $(x_o,\ y_o)$ en la ecuación punto-pendiente, es decir, hacemos $x = x o$ e $y = y o$ , se obtiene

$y_o-y_o=m(x_o-x_o)\;\!$

$y_o-y_o=m \cdot 0$

$0=0\;\!$

dándose la igualdad, y probando que el punto verifica la ecuación.

Ejemplo: Ecuación punto-pendiente

Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (-2, 4) y tiene pendiente 3.

Solución:

En la ecuación punto-pendiente:

$y-y_o=m(x-x_o)\;\!$

sustituimos $m = 3$ , $x o = - 2$ , $y o = 4$ , obteniendo:

$y-4=3(x+2)\;\!$

Actividad Interactiva: Ecuación punto-pendiente

1. Halla la ecuación de la recta conocida la pendiente y un punto.

Actividad:

Como se conoce la pendiente, sólo hay que determinar la ordenada en el origen de la recta

y = m x + k

a) Tienes que escribir el valor de $k$ para determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto amarillo y tiene de pendiente el valor indicado, $m$ .

El pulsador azul de la ayuda la activa y el rojo la desactiva. Con la ayuda activada no cuenta los aciertos.

Si aciertas verás la expresión de la función con color naranja, si no aciertas verás la recta correspondiente de color rojizo.

Después de cada acierto pulsa el botón animar para que se salga una nueva recta.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Como dos puntos terminan una única recta que pasa por ellos, podemos dar el siguiente resultado:

Ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos

Sean $(x_1,\ y_1)$ y $(x_2,\ y_2)$ dos puntos de una recta (que no sea horizontal *), entonces la ecuación de la recta viene dada por la expresión:

$\cfrac {y-y_1}{y_2-y_1}=\cfrac {x-x_1}{x_2-x_1}$

expresión que se denomina ecuación continua de la recta.

Además, su pendiente es:

$m=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

(* La recta no puede ser horizontal porque si no el primer denominador se anula)

Demostración:

En primer lugar calculamos la pendiente de la recta:

$m=\cfrac {variacion\ de\ y}{variacion\ de\ x}=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

Ahora escribimos la ecuación punto pendiente:

$y-y_o=m(x-x_o)\;\!$

Sustituimos m por el valor que hemos obtenido y hacemos $x o = x 1$ , $y o = y 1$ :

$y-y_1=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1)\;\!$

Pasamos al primer miembro dividiendo $y 2 - y 1$ :

$\cfrac {y-y_1}{y_2-y_1}=\cfrac {x-x_1}{x_2-x_1}$

Ejemplo: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 4) y (-3, 5).

Solución:

En la ecuación continua:

$\cfrac {y-y_1}{y_2-y_1}=\cfrac {x-x_1}{x_2-x_1}$

sustituimos $x 1 = 2$ , $x 2 = - 3$ , $y 1 = 4$ , $y 2 = 5$ , obteniendo:

$\cfrac {y-4}{1}=\cfrac {x-2}{-5}$

Actividades Interactivas: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

1. Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por dos puntos.

Actividad:

Por dos puntos distintos pasa una única recta. Si los puntos son

A = (a 1, a 2)

B = (b 1, b 2)

la ecuación de la recta que pasa por ellos es:

$y-a_2=m \cdot(x-a_1)$

con $m=\cfrac{b_2-a_2}{b_1-a_1}$ .

a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,-3) y (5, 4) y compruébala en la siguiente escena:

2. Ecuaciones continua y general de la recta que pasa por dos puntos.

Actividad:

La ecuación continua de la recta que pasa por los puntos $A=(x_o,\ y_o)$ y $B=(x_1,\ y_1)$ es:

$\cfrac {x-x_o}{x_1-x_o}=\cfrac {y-y_o}{y_1-y_o}$

a) Calcula la ecuación continua y general de la recta que pasa por los puntos (-1,3) y (1, 2) y compruébala en la siguiente escena:

b) Comprueba si los puntos A(1,0), B(2,1) y C(3,3) están o no alineados. (Sugerencia: Calcula la recta que pasa por A y B, y comprueba que C pertenece a ella.)