Interés compuesto

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ejercicio

Fórmula del interés compuesto

El capital final C_F\;\! obtenido a partir de un capital inicial C \;\! a un interés o rédito r\;\!, durante un tiempo n\;\! es:

C_F=C \cdot \left (1+\frac{r}{100}\right )^n

Nota: El rédito r\;\! y el tiempo n\;\! vienen dados en las mismas unidades de tiempo, que pueden ser: años, semestres, trimestres, meses, días, etc.

Demostración:

Al depositar una cantidad de dinero C \;\! en una entidad bancaria, ésta genera, al cabo del tiempo, unos beneficios llamados intereses. Supongamos que el tipo de interés o rédito pactado sea r%\;\! anual, entonces, al ser un problema de encadenamiento de aumento porcentual, cada año que pasa debemos multiplicar el capital inicial C \;\! por el índice de variación \left (1+\frac{r}{100}\right ). Así, el capital final o acumulado en n\;\! años será:

C_F=C \cdot \begin{matrix} \ \\ \underbrace{ \left (1+\frac{r}{100}\right ) \cdot \left (1+\frac{r}{100}\right ) \cdots \left (1+\frac{r}{100}\right ) } \\ n \ veces \end{matrix}= C \cdot \left (1+\frac{r}{100}\right )^n

ejercicio

Ejemplos: Interés compuesto

  1. ¿En cuánto se transforma 10000 € depositados en un banco al 6% anual, al cabo de 5 años?
  2. ¿En cuánto se transforma 10000 € depositados en un banco al 6% anual, al cabo de 5 años, si el periodo de capitalización es mensual (paga los intereses cada mes)?
Solución:

1) C_F=10000 \cdot \left (1+\frac{6}{100}\right )^5=10000 \cdot 1,06^5=13382,26 €

2) Al ser el 6% anual, el tanto por ciento mensual será \cfrac{6}{12}=0,5% y el número de meses en 5 años es 12 \cdot 5 = 60 meses.

Aplicando el encadenamiento de aumento porcentual, tenemos:

C_F=10000 \cdot \left (1+\frac{0,5}{100}\right )^{60}=10000 \cdot 1,005^{60}=13488,50 €

Como se puede deducir el periodo de capitalización mensual es mucho más favorable que el anual para el cliente.

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