Perímetros y áreas

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Tabla de contenidos

1 Cuadrado
2 Rectángulo
3 Paralelogramo
4 Rombo
5 Triángulo
6 Trapecio
7 Polígonos regulares
8 Círculo
- 8.1 Corona circular
- 8.2 Sector circular
9 Ejercicios y Problemas

Cuadrado

Perímetro:

$P=4 \cdot a$

Área:

$A=a^2 \;\!$

Elementos:

a: lado.

Actividad interactiva: Cuadrado

Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 4 m.
El área de un cuadrado es 5,76 $c m 2$ . Calcula su perímetro.

Actividad:

Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:

Cálculo del área y del perímetro de un cuadrado

(Mueve el vértice del cuadrado para variar la medida del lado)

Click aquí si no se ve bien la escena

Rectángulo

Perímetro:

$P=2 \cdot a+2 \cdot b$

Área:

$A=a \cdot b$

Elementos:

b: base.

a: altura.

Actividad interactiva: Rectángulo

1. La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro.

Actividad:

Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:

Cálculo del área y del perímetro de un rectángulo

(Mueve los vértices del rectángulo para variar la medida de los lados)

Click aquí si no se ve bien la escena

Paralelogramo

Perímetro:

$P=2 \cdot a+2 \cdot b$

Área:

$A=a \cdot b$

Elementos:

b: base.

a: altura.

Nota:

El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

Actividad interactiva: Paralelogramo

1. Deducción de las fórmulas del área y del perímetro del paralelogramo.

Actividad:

El paralelogramo de la derecha tiene el mismo área que el rectángulo que tiene debajo. Para comprobarlo, mueve el punto que se indica y arrastralo hacia la izquierda.

Por tanto el área del paralelogramo es el mismo que el del rectángulo.

Deducción de las fórmulas del área y del perímetro del paralelogramo

(Mueve el punto azul)

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2. La base de un paralelogramo es 5 cm, y su altura es 2,8 cm. ¿Cual es el área y el perímetro del paralelogramo?

Actividad:

Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:

Cálculo del área y del perímetro del paralelogramo

(Mueve los vértices para modificar la medida de los lados)

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Rombo

Perímetro:

$P=4 \cdot a$

Área:

$A=\cfrac {D \cdot d}{2}$

Elementos:

a: lado.

D: diagonal mayor.

d: diagonal menor.

Nota:

Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.

Actividad interactiva: Rombo

1. La diagonal mayor de un rombo mide 5m, y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro del rombo.

Actividad:

Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:

Cálculo del área y del perímetro del rombo

(Mueve los vértices para modificar la medida de los lados)

Click aquí si no se ve bien la escena

2. Calcula el área de un cuadrado de 4 m. de diagonal.

a) Utilizando el teorema de Pitágoras para determinar el lado.

b) Utilizando la fórmula del área del rombo.

Actividad:

El cuadrado es un rombo que tiene las diagonales iguales.

Para calcular el área del cuadrado puedes utilizar también la expresión del área del rombo. Comprueba en la figura que estas expresiones dan el mismo valor.

El cuadrado es un rombo con los 4 lados iguales

(Mueve los vértices para modificar la medida de los lados)

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Triángulo

Perímetro:

$P=b+c+d\;\!$

Área:

$A=\cfrac {b \cdot a}{2}$

Elementos:

b: base.

a: altura.

c, d: lados.

Nota:

Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

Actividad interactiva: Triángulo

1. Cálculo del área y perímetro de un triángulo.

Actividad:

En esta escena puedes calcular el área y el perímetro de un triángulo.

Mueve los vértices del triángulo para variar la medida de los lados.

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena anterior:

La base de un triángulo isósceles mide 5 cm. y los lados iguales miden 3,7 cm. Halla su área y su perímetro.

Trapecio

Perímetro:

$P=b+B+c+d\;\!$

Área:

$A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}$

Elementos:

B: base mayor.

b: base menor.

a: altura.

c, d: lados.

Actividad interactiva: Trapecio

1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.

Actividad:

Para ello, mueve el punto rojo hacia la izquierda. Obtendrás un duplicado del trapecio en color azul, que junto con el trapecio amarillo inicial, forman un paralelogramo de base $B+b\;\!$ y altura $a\;\!$ .

El área del paralelogramo es:

$(B+b) \cdot a$

de donde, dividiendo por 2, obtenemos el área del trapecio:

$\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}$

Deducción de la fórmula del área del trapecio
(Mueve el punto rojo)

2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.

Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y del perímetro de un trapecio

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.

Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y del perímetro de un trapecio rectángulo

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados.

4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.

Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y el perímetro de un trapecio isósceles

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

Polígonos regulares

Perímetro:

$P=n \cdot b$

Área:

$A=\cfrac {P \cdot a}{2}$

Elementos:

b: lado.

a: apotema.

Nota:

n: número de lados.

Actividad interactiva: Polígono regular

1. Cálculo del área y perímetro de un polígono regular.

Actividad:

En esta escena puedes calcular el área y el perímetro de un polígono regular.

Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos.

Pero, para determinar el área, necesitamos conocer, además del lado, la apotema. Si conocemos uno de ellos y el radio, podemos hallar el otro por el Teorema de Pitágoras, como se observa en la siguiente escena:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en las escenas anteriores:

Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área.
Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular)

Círculo

Perímetro:

$P=2 \cdot \pi \cdot r$

Área:

$A=\pi \cdot r^2$

Elementos:

r: radio.

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

Actividad interactiva: Círculo

1. En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.

Actividad:

Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:

Corona circular

Perímetro:

$P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)$

Área:

$A=\pi \cdot (R^2-r^2)$

Elementos:

r: radio.

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

Actividad interactiva: Corona circular

1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente.

Actividad:

Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:

Mueve el punto azul para modificar el radio pequeño

Sector circular

Perímetro:

$P=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}+2r$

Área:

$A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}$

Elementos:

r: radio.

l: arco.

$\alpha\;\!$ : ángulo (en grados sexagesimales).

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

Demostración:

La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres.

$\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}$

Despejando el área del sector:

$A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}$

de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, $\pi r^2\;\!$ , se obtiene la fórmula.

Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.

$\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}$