Regla de Ruffini (4ºESO Académicas)

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Cociente de monomios

Entenderemos la división de monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.

\frac{ax^m} {bx^n}= \frac{a} {b} x^{m-n}

ejercicio

Ejemplos: Cociente de monomios

Calcula:
a) 4ax^4y^3 : 2x^2y \;\!
b) 6x^4y : 2ax^3 \;\!
Solución:
a) 4ax^4y^3 : 2x^2y = \cfrac {4ax^4y^3}{2x^2y}=2ax^2y^2
b) 6x^4y : 2ax^3 =\cfrac {6x^4y}{2ax^3}=\cfrac {3xy}{a}

División de polinomios

La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.

Dados dos polinomios P(x)\; (dividendo) y Q(x)\; (divisor) de modo que el grado de P(x)\; sea mayor o igual que el grado de Q(x)\; y el grado de Q(x)\; sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios C(x)\; (cociente) y R(x)\; (resto) tales que:

P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,
dividendo = divisor × cociente + resto

que también podemos representar como:

P(x) \,

Q(x) \,

R(x) \, C(x) \,
  • El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
  • Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

ejercicio

Ejemplo: División de polinomios

Divide los siguientes polinomios:

P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, \, x - 3\;
Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;
Solución:
\begin{matrix} 3x^{4} - 2x^3 + 4x^2 + 2x - 3 \quad | \quad x-2 \qquad \quad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \; \, \, \, |-------- \quad \\ -3x^4 + 6x^3 + 3x^2 \qquad \qquad \quad \quad 3x^{2} + 4x +15 \; \, \\ -------- \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ 4x^3 + 7x^2 + 2x -3 \qquad \qquad \quad \\ -4x^3 + 8x^2 + 4x \qquad \qquad \qquad \quad \; \, \\ ---------- \qquad \qquad \qquad \\ ~15x^2 + ~6x -~3 \quad \quad \; \, \\ -15x^2 + 30x + 15 \quad \quad \; \, \, \\ --------- \qquad \quad \\ \quad \ 36x+12 \end{matrix}

División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini

ejercicio

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x-r)\;, siendo r\; un número entero.

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:

Vamos a dividir el polinomio

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

entre el binomio

Q(x)=x-r\,\!

para obtener el cociente

C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0

y el resto s\;.

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x)\; y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea: 

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |                                    
 r  |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (an) abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes b: 

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |        an                     
    |
    |      = bn-1                                
    |

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha: 

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an
    |
    |      = bn-1                                
    |

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna: 

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)
    |
    |      = bn-1     = bn-2                                
    |

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números: 

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r      ...        b1r        b0r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)  ...       a1+b1r       a0+b0r
    |
    |      = bn-1     = bn-2      ...       = b0        = s
    |

Los valores b_i\; son los coeficientes del polinomio resultante C(x)\;, el grado será menor que el grado de P(x)\;. El resto será s\;.

ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:
P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!
Q(x)=x-2\,\!
Solución:
  | 7  -5  -4   6  -1
   |                   
 2|    14  18  28  68
 --|-------------------
  | 7   9  14  34 |67
                    |____

El resultado significa que:

  • Cociente de la división: C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!
  • Resto: r=67\,\!

Operaciones:
  • 2 \cdot 7=14\,\!
  • -5+14=9\,\!
  • 2 \cdot 9 =18\,\!
  • -4+18=14\,\!
  • 2\cdot 14=28\,\!
  • 6+28=34\,\!
  • 2 \cdot 34=68\,\!
  • -1+68=67\,\!
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Regla_de_Ruffini_%284%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"
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