Número áureo

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El número áureo

El número áureo, es un número irracional, representado por la letra griega phi φ (en minúscula) o Φ (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias, cuyo valor es:
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803398874988...

También se le conoce como número de oro o razón áurea o divina proporción (por la obra de Luca Pacioli, De Divina Proportione, escrito entre 1496 y 1498).

ejercicio

Proposición 1

Si dividimos un segmento en dos partes a y b, de manera que la longitud total, a+b, es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b, entonces la razón de dicha proporción es el número áureo.
\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b} = \phi
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.
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El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

Rectángulo áureo

El rectángulo áureo (o rectángulo dorado) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual al número áureo.

ejercicio

Proposición 2

Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.
Fig. 2 Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.
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Fig. 2 Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Construcción

Un método para construir un rectángulo áureo.
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Un método para construir un rectángulo áureo.

En la matemática clásica se construye por medio de regla y compás siguiendo los siguientes pasos:

ejercicio

Construcción con regla y compás del rectángulo áureo

  1. Se construye un cuadrado (de rojo, en la Fig. 3).
  2. Se traza una segmento desde la mitad del lado del cuadrado hasta una de sus esquinas.
  3. Empleando ese segemento como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en la prolongación de la base del cuadrado.
  4. Ese punto obtenido determina la base del rectángulo áureo con altura igual al lado del cuadrado.


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