Número áureo
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El número áureo
El número áureo, es el primer número irracional del que se tuvo conciencia. Su valor es: ![]() Es representado por la letra griega phi φ (en minúscula) o Φ (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias. También se le conoce como número de oro, razón áurea o divina proporción (por la obra de Luca Pacioli, De Divina Proportione, escrita entre 1496 y 1498). Proposición 1
![]() Demostración: Partimos de la proporción dada: ![]() Separamos en dos sumandos el término de la izquierda: ![]() Llamando ![]() Quitando denominadores y trasponiendo términos: ![]() ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es: ![]() |
El rectángulo áureo
El rectángulo áureo (o rectángulo dorado) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual al número áureo. Los griegos consideraban que un rectángulo de tales características era especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte. Proposición 2
Demostración: Partimos de un rectángulo áureo. Lo dividimos en un cuadrado de lado su lado menor y otro rectángulo pequeño, como se observa en la Fig. 2. Veamos que el rectángulo pequeño también es un rectángulo áureo. Para ello tendremos que comprobar que Por ser el rectángulo de partida un rectángulo áureo, se cumple que la proporción entre sus lados es el número áureo: ![]() Operando:
![]() ![]() |
Construcción del rectángulo áureo
Construcción del rectángulo áureo con regla y compás
Demostración: Si te fijas en la Fig. 3, basta con demostrar que el segmento que se obtiene en el paso 2 mide ![]() ![]() En la escena puedes ver la construcción del número de oro basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclides (siglo III a.C.).
![]() Construcción con regla y compás de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. |
El número áureo en el péntágono estrellado
El número áureo en el péntágono estrellado
![]() Demostración:
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La sucesión de Fibonacci y el número áureo
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Si a partir de la sucesión de Fibonacci
![F_n\;](/wikipedia/images/math/6/a/8/6a81086f301959434cac2eb70cf14c81.png)
construimos, por recurrencia, la sucesión
![b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}](/wikipedia/images/math/9/d/7/9d754c8c49329971e05cb64104b1da34.png)
Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:
![lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi](/wikipedia/images/math/2/a/f/2af92dfc5449d210fd4f6afc57cec664.png)
Comprobación: Si en la sucesión de Fibonacci
![1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots](/wikipedia/images/math/2/6/3/2637272e9b89a451884bf0203999b2d7.png)
dividimos cada término entre el anterior, tenemos:
![\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots](/wikipedia/images/math/4/2/f/42f48e88df031560abc1a5992e2c1313.png)
que expresada con decimales nos da:
![1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi](/wikipedia/images/math/3/b/1/3b17212b81f45d9802f2e4793938cf92.png)
Demostración:
Por construcción de la sucesión de Fibonacci:
![F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;](/wikipedia/images/math/8/c/8/8c8d11889c6622b64257e25ef77b4567.png)
Dividiendo ambos miembros por :
![\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}}](/wikipedia/images/math/8/a/f/8af7ada974f8921f21dab5ce6c504dcd.png)
Tomando límites en ambos miembros:
![lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}}](/wikipedia/images/math/0/b/b/0bb707f47bb0721b37731d8e751b05cf.png)
Llamando , tenemos:
![L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0](/wikipedia/images/math/7/b/3/7b3d0f96a3ca657dc1a7374a1596f920.png)
ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:
![L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi](/wikipedia/images/math/e/b/e/ebe4d7d5fef85f3c8c5f647e8b3b6ead.png)
Videos y páginas web
![](/wikipedia/images/thumb/d/da/Rtve.jpg/22px-Rtve.jpg)
Documental sobre el número aureo.
![](/wikipedia/images/thumb/d/da/Rtve.jpg/22px-Rtve.jpg)
El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.
![](/wikipedia/images/thumb/f/f8/Web.png/22px-Web.png)
A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.