Plantilla:Valor absoluto (1º Bach)

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El valor absoluto o módulo de un número real a\; es el propio número a\;, si es positivo, o su opuesto, -a\;, si es negativo. Es decir:

|a| = \begin{cases} \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\ -a\, , & \mbox{si } a < 0 \end{cases}

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a\; corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde a\; hasta el cero.

ejercicio
Ejemplos:
ejercicio

Ejemplos: Valor absoluto

1) Calcula el valor absoluto de los siguientes números: 7.4,~0,~-5.87,~\sqrt{9},~1-\sqrt{3}
2) ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes expresiones?
a) |x|=3\;
b) |x|=0\;
c) |x|=\sqrt{3}\;
Solución:

1)

|7.4|=7.4\;
|0|=0\;
|-5.87|=5.87\;
|\sqrt{9}|=|\pm 3|= 3\;
|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\;

2)

a) |x|=3 \iff x=3 \quad \acute{o} \quad x=-3
b) |x|=0 \iff x=0
c) |x|= \sqrt{3} \iff x= \sqrt{3} \quad \acute{o} \quad x=-\sqrt{3}

Valor absoluto de un número real (2´47")     Sinopsis:
  • Definición del valor absoluto de un número.
  • Ejemplos.
  • Propiedades del valor absoluto.

Propiedades del valor absoluto

ejercicio

Propiedades del valor absoluto

  1. |x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0
  2. \forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k
  3. |x \cdot y|= |x| \cdot |y|
  4. |x + y| \le |x|+|y|

ejercicio

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean x, y, z \in \mathbb{R}, se cumplen las siguientes propiedades:

1.  x<y \Rightarrow x+z<y+z
2.  x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z
3.  x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z
4.  x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}

Como consecuencia, en una inecuación:

  • Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
  • Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad? (10'00")     Sinopsis:

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad?. Ejemplos.

(pág. 33)

ejercicio

Ejercicios resueltos: Valor absoluto

2) ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?
a) |x| \ge 3\;
b) |x-2|\le 3\;
Solución:
a) |x| \ge 3 \iff x \le-3 \quad \acute{o} \quad x \ge 3 \iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right )
b) |x-2|\le 3 \iff -3<x-2<3 \iff -3+2<x-2+2<3+2 \iff -1<x<5 \iff x \in \left [ -1 , 5 \right ]

wolfram
Valor absoluto
wolfram

Actividad: Valor absoluto

Resuelve
a) |3x-1|=0 \;
b) |3x-1|=4 \;
c) |x-5|>2 \;


Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) | 3x − 1 | = 0
b) | 3x − 1 | = 4
c) | x − 5 | > 2


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