Regla de Ruffini (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Cociente de monomios
2 División de polinomios
- 2.1 División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini
3 Videotutoriales

Cociente de monomios

Entenderemos la división de monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.

$\frac{ax^m} {bx^n}= \frac{a} {b} x^{m-n}$

Ejemplos: Cociente de monomios

Calcula:

a) $4ax^4y^3 : 2x^2y \;\!$

b) $6x^4y : 2ax^3 \;\!$

Solución:

a) $4ax^4y^3 : 2x^2y = \cfrac {4ax^4y^3}{2x^2y}=2ax^2y^2$

b) $6x^4y : 2ax^3 =\cfrac {6x^4y}{2ax^3}=\cfrac {3xy}{a}$

División de polinomios

La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.

Dados dos polinomios $P(x)\;$ (dividendo) y $Q(x)\;$ (divisor) de modo que el grado de $P(x)\;$ sea mayor o igual que el grado de $Q(x)\;$ y el grado de $Q(x)\;$ sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios $C(x)\;$ (cociente) y $R(x)\;$ (resto) tales que:

$P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,$

dividendo = divisor × cociente + resto

que también podemos representar como:

El grado de $C(x)\;$ es igual a la diferencia entre los grados de $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ , mientras que el grado de $R(x)\;$ será, como máximo, un grado menor que $Q(x)\;$ .
Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

Ejemplo: División de polinomios

Divide los siguientes polinomios:

$P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, \, x - 3\;$

$Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;$

Solución:

$\begin{matrix} ~~~3x^{4} - 2x^3 + 4x^2 + 2x - 3 \quad | \quad x^{2} - 2 \, x - 1 \quad \\ ~~~\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \; \, \, \, |-------- \quad \quad \\ -3x^4 + 6x^3 + 3x^2 \qquad \qquad \quad \quad 3x^{2} + 4x +15 \; \, \\ -------- \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ 4x^3 + 7x^2 + 2x -3 \qquad \qquad \quad \\ -4x^3 + 8x^2 + 4x \qquad \qquad \qquad \quad \; \, \\ ---------- \qquad \qquad \qquad \\ ~15x^2 + ~6x -~3 \quad \quad \; \, \\ -15x^2 + 30x + 15 \quad \quad \; \, \, \\ --------- \qquad \quad \\ \quad \ 36x+12 \end{matrix}$

División de polinomios

Tutorial 1 (6´42") Sinopsis:

División de polinomios. Ejemplos.

Tutorial 2 (8´32") Sinopsis:

Siendo P(x) un polinomio de grado no inferior al polinomio Q(x), nos planteamos determinar los polinomios C(x) y R(x) tales que P(x) = Q(x).C(x) + R(x). De C(x) se dice "cociente" de la "división" entre P(x) y Q(x); de R(x) se dice "resto". Si R(x) = 0, la división se dice "exacta"; en tal caso, también se dice que P(x) es "divisible" por Q(x), o que P(x) es "múltiplo" de Q(x), o que Q(x) "divide" a P(x), o que Q(x) es "divisor" de P(x).

Tutorial 3 (17´13") Sinopsis:

Cómo se hace la división de polinomios

Tutorial 4 (10´24") Sinopsis:

División de polinomios

Ejercicio 1 (19'10") Sinopsis:

Calcula:

a) $(4x^3+2x^2-4x+3):(2x^2-x+1)\;$

b) $(3x^4-6x^3-2x+1):(3x^2-2)\;$

Ejercicio 2 (10'30") Sinopsis:

Calcula: $(6x^5-5x^3-35x-14x^2+23x^4+20):(3x^3-5+x^2)\;$

Ejercicio 3 (9'45") Sinopsis:

Calcula: $(4x^4+13x^3+13x^2+8x-5):(4x^2+x-2)\;$

Ejercicio 4 (12'15") Sinopsis:

Calcula: $(8x^4-5x^2+9x+2x^3-7):(2x^2+x-3)\;$

Ejercicio 5 (12´09") Sinopsis:

Calcula:

a) $(7x^3-5x^2+3x^5+8x^4+2x-5):(2x^2-1+x^3)\;$

b) $(5x^4+6x^3+8x^2+2x-1):(2x^5+x^3)\;$

Ejercicio 6 (9'59") Sinopsis:

Calcula: $(37u^3-15u-8u^2-20u^5):(4u^2-5)\;$

Ejercicio 7 (8´45") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios entre binomios:

1a) $(x^3-6x^2-5x+2):(x-1)\;$

1b) $(x^5-4x^3+x+1):(x^2-1)\;$

1c) $(x^6-1):(x^2-1)\;$

Ejercicio 8 (13'34") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

2a) $(x^2+2x+1):x\;$

2b) $(x^3+2x^2+4x+2):x^2\;$

2c) $(4x^6+2x^5-2x^4):2x^2\;$

2d) $(x^5+5x^4+2x^3+13x^2+13x+2):(x^3+3x-2)\;$

2e) $(3x^4+x^3+5x^2+x-5):(x^2-3x+1)\;$

Ejercicio 9 (13'26") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

3a) $(x^6+5x^4+3x^2-2x):(x^2-x+3)\;$

3b) $(x^5+x^4+x^3+x+1):(x+1)\;$

Ejercicio 10 (12'27") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

3c) $(x^6+2x^5-3x^4+6x-8):(x-3)\;$

3d) $(x^3-+x^2+x-1):(x^2-1)\;$

Ejercicio 11 (10'46") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

4a) $(x^5-3x^4-2x^3+x^2-x+1):(x-8)\;$

4b) $(2x^4+3x^2+6x-7):(x-1)\;$

4c) $(x^3+5x^2+x-1):(x-2)\;$

4d) $(x^3+x^2-x-2):(x-1)\;$

Ejercicio 12 (9'47") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

5a) $(2x^6+10x^4-3x^3+2x^2-6):6x^4\;$

5b) $(\cfrac{6}{5}x^6+\cfrac{4}{3}x^4+2x^2-\cfrac{6}{3}):6x^4\;$

5c) $(3x^4+10x^3-8x^2+6x):x^2\;$

5d) $(\cfrac{1}{2}x^3+6x^2-3x+8):\cfrac{1}{3}x\;$

Ejercicio 13 (10'20") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

6a) $(4x^2-6x-4):(x-2)\;$

6b) $(8x^5-4x^4-3x^2+6x-1):(x^3+3x-1)\;$

6c) $(\cfrac{4}{3}x^3+\cfrac{2}{5}x^2-6x+7):(x^2-5)\;$

6d) $(x^3-6x^2-3x+1):(x-1)\;$

Ejercicio 14 (10'27") Sinopsis:

Indica qué divisiones de polinomios son exactas:

7a) $(x^3+5x-1):(x+3)\;$

7b) $(x^4-1):(x+1)\;$

7c) $(x^7-x^6-3x^4+16x^3+47x+3x^5-30x^2-24):(x-1)\;$

7d) $(x^4-2x^3+x^2+x-1):(x-1)\;$

Ejercicio 15 (14'53") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

8a) $(x^3-6x^2-5x-88):(x-8)\;$

8b) $(3x^5+7x^4-3x^2+5):(x-6)\;$

9a) $(x^5-32):(x+2)\;$

9b) $(x^5-32):(x-2)\;$

9c) $(x^4-16):(x+2)\;$

Ejercicio 16 (12'41") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

9d) $(x^3-8):(x-2)\;$

9e) $(x^3-8):(x+2)\;$

9f) $(x^3+8):(x-2)\;$

9g) $(x^3+8):(x+2)\;$

9h) $(x^3-27):(x-3)\;$

9i) $(x^3-27):(x+3)\;$

9j) $(x^4+1):(x+1)\;$

Ejercicios 17 (7´08") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

a) $(3x^3+x^2-4x+7):(x^2-5x+3)\;$

b) $(x^4+5x^3-2x+1):(3x^2+4)\;$

Método de Horner

Tutorial (12´03) Sinopsis:

Método de Horner para la división de polinomios

Ejercicio 1 (8´18) Sinopsis:

Calcula: $(5x^3+2x^2+1):(x^2+2+2x)\;$

Ejercicio 2 (9´27) Sinopsis:

Halla el resto de la división:

$5x^4 :(x^2-2x-3)\;$

Ejercicio 3 (9´01) Sinopsis:

Halla el resto de la división

$(8x^3+4x^2-6mx+15):(2x-1)\;$

sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 28.

Autoevaluación: División de polinomios Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre división de polinomios.

División de polinomios

Actividad: División de polinomios

Calcula el cociente y el resto de la siguiente división de polinomios:

$x^3-4x^2+x+6):(x-1)\;$

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

quotient and remainder (x^3-4x^2+x+6)/(x-1)

División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma $(x-r)\;$ .

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:

Procedimiento:

Vamos a dividir el polinomio

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

entre el binomio

$Q(x)=x-r\,\!$

para obtener el cociente

$C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0$

y el resto $s\;$ .

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de $P(x)\;$ y los escribimos ordenados. Entonces escribimos $r\;$ en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & & & & & \\ ~~ \, | & & & & & \end{matrix}$

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, $a_n\;$ , justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes $b_{n-1}\;$ :

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}$

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por $r\;$ y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & b_{n-1} \ r & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}$

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & & & \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & & \end{matrix}$

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

$\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & \cdots & rb_1 & rb_0 \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & \cdots & a_1+rb_1 & a_0 +rb_0 \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s \end{matrix}$

Los valores $b_i\;$ son los coeficientes del polinomio cociente $C(x)\;$ , cuyo grado será un grado menor que el del dividendo $P(x)\;$ . El resto será $s\;$ .

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

$P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!$

$Q(x)=x-2\,\!$

Solución:

   | 7  -5  -4   6  -1
   |                   
  2|    14  18  28  68
 --|-------------------
   | 7   9  14  34 |67
                   |____

El resultado significa que:

Cociente de la división: $C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!$
Resto: $r=67\,\!$

Operaciones:

$2 \cdot 7=14\,\!$

$-5+14=9\,\!$

$2 \cdot 9 =18\,\!$

$-4+18=14\,\!$

$2\cdot 14=28\,\!$

$6+28=34\,\!$

$2 \cdot 34=68\,\!$

$-1+68=67\,\!$

Regla de Ruffini

Tutorial 1 (5´53") Sinopsis:

Regla de Ruffini. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'48") Sinopsis:

Regla de Ruffini: Método rápido para realizar divisiones de polinomios entre binomios del tipo (x - a). Ejemplos.

Tutorial 3 (13´16") Sinopsis:

La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.

Tutorial 4 (10´38") Sinopsis:

Cómo se aplica la Regla de Ruffini.

Tutorial 5 (5´26") Sinopsis:

División de polinomios por el método de Ruffini para divisores del tipo (x-a).

Ejercicio 1 (5'14") Sinopsis:

Ejemplo de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 2 (17'39") Sinopsis:

2 ejemplos de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 3 (7´07) Sinopsis:

2 ejemplos de división mediante la regla de Ruffini

Ejercicio 4 (6´57") Sinopsis:

Otros 2 ejemplos de aplicación de la regla de Ruffini

Ejercicio 5 (6'50") Sinopsis:

Divide $4x^4-5x^2-3x+11\;$ entre $x-2\;$ .

Ejercicio 6 (12´03) Sinopsis:

a) Divide $-ax^3+a^3x-1\;$ entre $x-a\;$

b) Divide $6x^{40}-42x^{30}+8x^{20}-56x^{10}+57\;$ entre $x^{10}-7\;$

Ejercicio 7 (14´17") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1a) $(x^3-6x^2-5x+2):(x-1)\;$

1b) $(x^5+x^4+x^3+x+1):(x+1)\;$

1c) $(x^6+2x^5-3x^4+x-8):(x-3)\;$

1d) $(x^5-3x^4-2x^3+x^2-x+1):(x-8)\;$

1e) $(x^3+5x^2+x-1):(x-2)\;$

1f) $(x^3+x^2-x-2):(x-1)\;$

Ejercicio 8 (13´24") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1g) $(4x^2-6x-4):(x-2)\;$

1h) $(x^3-6x^2-3x+1):(x-1)\;$

1i) $(x^3+5x-1):(x+3)\;$

1j) $(x^4-1):(x+1)\;$

1k) $(x^7-x^6-3x^4+16x^3+47x+3x^5-30x^2-24):(x-1)\;$

1l) $(x^4-2x^3+x^2+x-1):(x-1)\;$

Ejercicio 9 (10´40") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2a) $(x^5-32):(x+2)\;$

2b) $(x^5-32):(x-2)\;$

2c) $(x^4-16):(x+2)\;$

2d) $(x^3-8):(x-2)\;$

2e) $(x^3-8):(x+2)\;$

Ejercicio 10 (9´14") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2f) $(x^3+8):(x-2)\;$

2g) $(x^3+8):(x+2)\;$

2h) $(x^3-27):(x-3)\;$

2i) $(x^3-27):(x+3)\;$

2j) $(x^4+1):(x+1)\;$

Ejercicio 11 (4´13") Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

a) $(-3x^4+6x^2-x+2):(x+3)\;$

b) $(x^3+4x^2+x-6):(x-1)\;$

c) $(-x^3+5):(x+2)\;$

Autoevaluación: Regla de Ruffini Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la regla de Ruffini.

Videotutoriales

División de polinomios (9´) Sinopsis:

2 ejermplos de división de polinomios (12´) Sinopsis:

Videotutorial.

Regla de Ruffini (10´) Sinopsis:

La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.

2 ejemplos de división mediante la regla de Ruffini (7´) Sinopsis:

Videotutorial

Otros 2 ejemplos de aplicación de la regla de Ruffini (7´) Sinopsis:

Videotutorial

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Categorías: Matemáticas | Álgebra

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