Límites en el infinito (2ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Límite en el infinito
2 Límite en el infinito de funciones polinómicas
3 Límite en el infinito de funciones racionales
4 Otros límites en el infinito

Límite en el infinito

Límites en el infinito (30'37") Sinopsis:

Límite en el infinito de funciones polinómicas

Proposición

Sea $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\;$ una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}$
$\lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to - \infty} a_nx^n = \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\ +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar} \end{cases}$

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

Ejemplos:

$\lim_{x \to + \infty} 5x^4-2x^2 = \lim_{x \to + \infty} 5x^4 = + \infty$

$\lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = \lim_{x \to + \infty} -3x^4= - \infty$

$\lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} -2x^3 = + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} -2x^2 = - \infty$

$\lim_{x \to - \infty} 2x^3-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} 2x^3 = - \infty$

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^3-1}{-5} = \lim_{x \to - \infty} -\cfrac{1}{5}x^3 + \cfrac{1}{5} = \lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{5}x^3 = + \infty$

Límite de un polinomio en el infinito

Tutorial 1 (9'59") Sinopsis:

Al calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞) sólo debes preocuparte del sumando de mayor grado, pues es él quien corta el bacalao.

Tutorial 2 (15'57") Sinopsis:

Otra forma de calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞). También se incluyen otros casos de funciones radicales que tienen un tratamiento similar.

Ejercicios 1 (12'02") Sinopsis:

Ejercicios de límites de funciones polinómicas.

Ejercicios 2 (8'05") Sinopsis:

Ejercicios de límites de funciones polinómicas.

Límite en el infinito de funciones racionales

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;$

Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}$ (análogamente si $x \to - \infty$ )

Se pueden dar los siguientes casos:

grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser $+ \infty$ ó $- \infty$ .
grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante, $\cfrac{a_n}{b_n}$ , que es el valor del límite.
grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.

Ejemplos:

$\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2-5x+3}{3x-5} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2}{3x} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x}{3} = - \infty$

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2+3}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x} = 0$

$\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2-5x+1}{2x^2-6} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2}{2x^2} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3}{2} = \cfrac{3}{2}$

Límite de una función racional en el infinito

Tutorial 1 (14'19") Sinopsis:

Límites cuando x tiende a infinito de cocientes de polinomios (método rápido) y diferencias de expresiones infinitas.

Tutorial 2 (26'20") Sinopsis:

Límite de funciones racionales y de raíces de funciones racionales.

Tutorial 3a (3'43") Sinopsis:

Caso 1: denominador con grado mayor que el numerador.

Tutorial 3b (3'55") Sinopsis:

Caso 2: denominador con grado igual que el numerador.

Tutorial 3c (2'57") Sinopsis:

Caso 3: denominador con grado menor que el numerador.

Tutorial 4 (11'23") Sinopsis:

Para calcular el límite de un cociente de polinomios cuando x → +∞ o cuando x → -∞, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de "x" que aparezca en el denominador.

Si numerador y denominador son de igual grado, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y el denominador.
Si el numerador es de menor grado que el denominador, el límite es 0.
Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el límite es +∞ ó -∞ según que el numerador y el denominador tengan igual signo o no.