Plantilla:Raiz de 2 no es racional

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Proposición

No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número $\sqrt{2} \,$ no es racional.

Demostración:

Demostración:

Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que $\sqrt{2} \,$ es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.

Por tanto, supongamos que $\sqrt{2} \,$ es racional, o sea, que existe una fracción que es igual a $\sqrt{2} \,$ .

$\cfrac {a}{b}=\sqrt{2} \, , \quad a, b \in \mathbb{Z}$

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

$\cfrac {a^2}{b^2}=2$

Multiplicamos por $b^2\;\!$ los dos miembros de la igualdad:

$a^2=2 \cdot b^2$ [1]

Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces.

Como $b^2\;\!$ es un cuadrado perfecto, el factor 2 o no aparece o lo hace un número par de veces. Entonces, por la expresión [1], el factor 2 aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto $a^2\;\!$ , lo cual no es posible.