Raíces y Radicales (4ºESO Académicas)

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Raíces

Sabemos que 3^2 = 9\;\!. Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como \sqrt{9}=3 y se lee "3 es igual a la raíz cuadrada de 9".

En general:

  • Se define la raíz cuadrada de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^2 =a\;\!.

Y escribimos:

b=\sqrt{a}


  • Se define la raíz cúbica de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^3 =a\;\!.

Y escribimos:

b=\sqrt[3]{a}


  • Igualmente, se define raíz n-sima de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^n =a\;\!. (n \in \mathbb{N},\ n>1)

Y escribimos:

b=\sqrt[n]{a}

El número a\;\! se llama radicando, el número n\;\!, índice y b\;\! es la raíz.

Propiedades:

  • \sqrt[n]{1}=1 y \sqrt[n]{0}=0, para cualquier valor del índice n\;\!.
  • Si a>0\;\!, \sqrt[n]{a} existe cualquiera que sea el índice n\;\!.
  • Si a<0\;\!, \sqrt[n]{a} sólo existe si el índice n\;\! es impar.
  • Si el índice n\;\! es par y el radicando a>0\;\!, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando a\;\!.

Ejemplos: 
  1. \sqrt[3]{1}=1.
  2. \sqrt[5]{0}=0.
  3. \sqrt[4]{16}=\pm 2 porque (\pm 2)^4=16\;\!.
  4. \sqrt[3]{64}=4 porque 4^3=64\;\!.
  5. \sqrt[3]{-8}=-2 porque (-2)^3=-8\;\!.
  6. \sqrt[4]{-8}= no \ existe porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:

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Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultaado será un número irracional.

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.

ejercicio

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas

Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}
Solución:

a) Descomponemos 216=2^3 \cdot 3^3.

Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6

Luego \sqrt[3]{216} es racional.

b) Descomponemos \cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}.

Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

\sqrt[4]{0'0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\cfrac{2^2}{10^1}=\cfrac{4}{10}=0'4

Luego \sqrt[4]{0'0256} es racional.

c) Descomponemos 192=2^6 \cdot 3\;\!.

La potencia de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.

Luego \sqrt[3]{192} es irracional.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

ejercicio

Proposición

  • Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, a\;\!, y el exponente es \cfrac{1}{n}, siendo n\;\! el índice de la raíz. Ésto es:

\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}

  • De forma similar, también se cumple:

\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}

Demostración:

Para la primera parte, basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz.

(a^\frac{1}{n})^n=a^{\frac{1}{n} \cdot n}=a^1=a

Para la segunda parte, haremos una comprobación análoga:

(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m
Ejemplos: 

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ejercicio

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:
a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}
Solución:

Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.

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Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

Radicales

Definición

Se llama radical a cualquier expresión en la que aparezcan raíces

Operaciones básicas con radicales

Producto:

Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos

Ejemplos: 

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Cociente:

Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos.

Ejemplos: 

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Potencia:

Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia, manteniendo el índice.

Ejemplos: 

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Radical:

Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos.

Ejemplos: 

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ejercicio

Actividad Interactiva: Radicales

Actividad 1. Operaciones con radicales del mismo índice.
Actividad:
Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.
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Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice.

Ejemplos: 
  1. 3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}
  2. 3\sqrt{2}-\sqrt{3}= (No se puede simplificar)
  3. 3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}= (No se puede simplificar)

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

Ejemplos: 

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Introducción de factores

Para introducir factores dentro de un radical se multiplica el exponente del factor por el índice del radical.

Ejemplos: 

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ejercicio

Actividad Interactiva: Introducción y extracción de factores de un radical

Actividad 1. Introduce y extráe factores de radicales.
Actividad:
Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.
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Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando:

Ejemplos: 

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ejercicio

Actividad Interactiva: Suma y resta de radicales

Actividad 1. Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando.
Actividad:
Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.
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Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales con distintos índices, éstos deben tener el mismo radicando. En tal caso, los radicales los convertimos en potencias de la misma base y operamos con ellas, para obtener una única potencia, que posemos volver a poner en forma radical.

Ejemplos: 
  1. 3\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{5}=3\cdot5^{\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{1}{4}}:5^{\frac{1}{2}}=3\cdot5^{(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2})}=3\cdot5^\frac{1}{12}=3\sqrt[12]{5}
  2. 3\sqrt[5]{2}-\sqrt[3]{3}= (No se puede simplificar)

(Otro método: sin pasar a potencia de exponente fraccionario. Ver también: Radicales equivalentes)

Racionalización de denominadores

El procedimiento por el cual hacemos desaparecer las raíces de los denominadores se le llama racionalización

Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Para racionalizar uno de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

Ejemplo: 

Vamos a racionalizar \frac{{6}}{\sqrt{2}}

En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por \sqrt{2}

\frac{{6}}{\sqrt{2}} · \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}}


Después se despeja la raíz cuadrada del denominador:

\frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{{2}}


El resultado del ejercicio es éste, aunque se puede simplificar el número entero del numerador entre el del denominador, así:

\frac{{6\sqrt{2}}}{{2}} = 3\sqrt{2}

Caso 2: Denominador con otras raíces

Las cantidades exponenciales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz.

Ejemplo: 

Vamos a racionalizar \frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}

En este ejemplo, hay que multiplicar por \sqrt[5] {a^2b}, ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz.

Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:

\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}} · \frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}}

Ahora, se procede al despeje de las raíces, en el ejemplo de índice 5:

\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador (solo se le cambia el segundo signo de la expresión)

Ejemplo: 

Vamos a racionalizar \frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}

En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por {\sqrt{2}-\sqrt{3}}; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} · \frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}}

Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador:

\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}} = {-2\sqrt{2}-\sqrt{3}}
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ra%C3%ADces_y_Radicales_%284%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"
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