Funciones: Definición (1ºBach)

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Función real de variable real

Una función real de variable real, $f\;$ , es una correspondencia que a cada número real $x \in D$ le hace corresponder un único número real $y=f(x)\;$ .

$\begin{matrix} f:D \subset \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \qquad \quad \\ \quad \ x& \rightarrow & \ y=f(x) \end{matrix}$

Actividades Interactivas: Funciones

1. Determina si son o no son funciones las siguientes gráficas.

Actividad:

Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos $x\;$ (variable independiente) e $y\;$ (variable dependiente); Se le llama variable dependiente porque su valor depende del valor de la otra que llamamos independiente.

Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente, no le pueden corresponder dos o más valores.

a) Observa en la escena las gráficas y di cuál de ellas es función y por qué no lo es la otra.

Observa al mover el punto P cuántos puntos de corte tiene la recta azul con cada gráfica; si es más de uno no es una función.

Click aquí si no se ve bien la escena

Dominio e imagen de una función

Al conjunto $D\;$ , de los valores que puede tomar la variable independiente $x\;$ , se le llama dominio de definición de la función. lo representaremos por $D_f\;$ ó $Dom_f\;$
La imagen o recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente $y\;$ . Lo representaremos por $Im_f\;$ .

Razones para restringir el dominio de una función

Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de $x\;$ (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos,...)
Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos
Por voluntad de quien propone la función.

Ejemplo: Dominio de una función

Halla el dominio de las funciones:

a) $y=x-3 x \in [-1,1]\;\!$

b) $y=\cfrac{1}{x-1}$

c) $y=\sqrt{x}$

d) $A=l^2\;$ (Área de un cuadrado de lado $l\;$ )

Solución:

a) Su dominio es $[-1,1]\;\!$ , por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de $x\;$ da un valor de $y\;$ válido.

b) Su dominio es $\mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}$ , porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.