Funciones logarítmicas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Función logarítmica de base a
- 1.1 Propiedades
- 1.2 El modelo logarítmico
2 Calculadora
- 2.1 Exponencial de base 10
- 2.2 Exponencial de base e

Función logarítmica de base a

Sea $a>0 \ , (a \ne 1)$ un número real. Se define la función logarítmica de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \quad \\ \, \quad x & \rightarrow & log_a \, x \end{matrix}$

La función logarítmica de base $e = 2,7182...\;$ (número e) es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por $ln \, x$ . La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por $log \, x$ (sin especificar la base).

Actividad Interactiva: Función logarítmica

Actividad 1. Representación gráfica de distintas funciones logarítimicas y comparación con la función exponencial con la misma base.

Actividad:

En esta escena tienes las gráfica de las funciones:

a) $y = log_2 \, x\;$ (en amarillo); b) $y = a^x \;$ (en verde)

Click aquí si no se ve bien la escena

Cambia con los controles el valor de $a\;$ (no olvides pulsar "Intro") y comprueba en la escena anterior que las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

Todas pasan por los punto $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ , donde $a\;$ es la base.
Si la base $a>1\;$ , son crecientes y si $0<a<1\;$ decrecientes.
Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.
Las gráficas son simétricas respecto de la recta $y = x$ (en rojo).

Propiedades

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en $\mathbb{R}{}_*^+$ .
Pasan por $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ .
Si $a>1\;$ son crecientes y si $0<a<1\;$ son decrecientes. Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice $\sqrt[n]{x}$ .
La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .

El modelo logarítmico

El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud $M\;$ que crece con el tiempo $t\;$ de acuerdo con la ecuación:

$M_t = M_0 \cdot e^{rt} \,$

Donde:

$M_t\;$ es valor de la magnitud en el instante $t\;$ > 0;

$M_0\;$ es el valor inicial de la variable, valor en $t = 0\;$ , cuando empezamos a medirla;

$r\;$ es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre $t = 0\;$ y $t > 0\;$ ;

$e = 2,7182...\;$ (número e)

Esta expresión también podemos ponerla como una función exponencial de base $a\;$ haciendo $r=ln(a)\;$ .

$M_t=M_0 \cdot a^t\;$

Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y crecimiento exponencial (verde)

Ejemplos:

El ajedrez y los granos de trigo

Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición. El número de granos de trigo era:

$2^{64}+ 2^63 + ... + 2^2 + 2\;$

una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino.

Los sumandos de esta expresión responderían, en la notación matemática actual, a la función $2^x\;$ , para el dominio x = 1, 2, 3, ..., 64.

El interés continuo

El capital obtenido de la inversión de un capital inicial $C_0\;$ a un interés compuesto $r\;$ en $n\;$ periodos anuales sigue la fórmula:

$C_t = C_0 \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$

siendo $t\;$ el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión.

Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:

$C_t = C_0 \cdot e^{rt}\;$

Desintegración radiactiva

Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si $R_0\;$ es la cantidad inicial de sustancia y $k\;$ la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo $t\;$ será:

$R_t = R_0 \cdot e^{-kt}$

Crecimiento demográfico

Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. siendo $P_0\;$ la población inicial e $i\;$ el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial: