Funciones: Definición (1ºBach)
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Tabla de contenidos |
Función real de variable real
Una función real de variable real, , es una correspondencia entre números reales que asocia a cada valor de la variable independiente
un único valor de la variable dependiente
.
![\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \quad \ x& \rightarrow & \ y \end{matrix}](/wikipedia/images/math/2/4/1/24143a69defce45766bef1aa23aa2662.png)
En tal caso decimos que es función de
y lo representamos por
.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Explicación de la notación . Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Definición de función, variable independiente y variable dependiente. Ejemplos
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Definición de función algebraica y de función trascendente. Ejemplos.
Gráfica de una función
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Necesidad de la representación gráfica de una función. Ejemplos.
Actividades Interactivas: Funciones
1. Determina si son o no son funciones las siguientes gráficas.
Actividad: Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos ![]() ![]() Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente, no le pueden corresponder dos o más valores. a) Observa en la escena las gráficas y di cuál de ellas es función y por qué no lo es la otra. Observa al mover el punto P cuántos puntos de corte tiene la recta azul con cada gráfica; si es más de uno no es una función. |
Operaciones con funciones
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Definición de las distintas operaciones que se pueden realizar con funciones. Ejemplos.
Dominio e imagen de una función
- El conjunto de valores de la variable independiente,
, para los que hay un valor de la variable dependiente,
, se llama dominio de definición de la función. Se denota
.
- El conjunto de valores que toma la variable independiente,
, se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota
.
- Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.
"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."
- t = "Tiempo que está abierto el grifo".
- V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito".
- Dominio: El tiempo que el grifo puede estar abierto es un número que varía entre 0 segundos y 100 segundos:
- Recorrido: El volumen de agua que se ha llenado el depósito es un número que varía ente 0 litros y 200 litros:
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio y la imagen de una función a partir de su gráfica.
Halla el dominio de una función a partir de su gráfica:
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.
Halla la imagen de una función a partir de su gráfica:
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.
Halla el dominio de una función a partir de un enunciado:
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Pati tiene una hermosa planta. La planta empezó a retoñar 2 días antes de que Pati la comprara, y la tuvo por 98 días antes de que muriera. La altura máxima que alcanzó a planta fue de 30 cm. Si denotamos por h(t) la altura de la planta en cm tras transcurrir t días desde el día de la compra, indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Thomas tiene 400 barras de caramelo en su tienda, y cada una cuesta $0.50. Sea p(b) el precio, medido en pesos ($), de la compra de b barras de caramelo. Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Mason está parado en el 5º escalón de una escalera vertical. La escalera tiene 15 escalones y la diferencia de altura entre escalones consecutivos es de 0.5 m. Él está pensando si sube, baja o se queda quieto. Sea h(n) la altura por encima del nivel del suelo de los pies de Mason (medido en metros) después de moverse n escalones (si Mason bajara n escalones , n es negativa). Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.
Imagen y antiimagen:
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Dada la gráfica de la función g(x), halla la antiimagen de -2, es decir, el valor de x para el cual g(x) = -2.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Dada la gráfica de la función f(x), halla el valor de x, además de -5, para el cual f(x) = f(-5).
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Dada la función f(t) = -2t + 5, halla la antiimagen de 13, es decir, el valor de t para el cual f(t) = 13.
Actividades en las que aprenderás de forma visual los conceptos de dominio y recorrido de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:
Suponiendo que la gráfica se comporta de forma análoga a lo largo de todo el eje X, ¿Cuál es su dominio y su imagen?
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:
¿Cuál es su dominio y su imagen?
![](/wikipedia/images/thumb/4/42/Descartesweb.jpg/22px-Descartesweb.jpg)
Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:
¿Cuál es su dominio y su imagen?
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás visualizar el dominio y la imagen de una función. Podrás elegir entre un tramo de recta (función lineal) o de parábola (función cuadrática).
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Dominio y rango a partir de gráficas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Dominio de una función dada por un enunciado.
Imagen y antiimagen:
Actividades con las que aprenderás los conceptos de imagen y antiimagen.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Halla la antiimagen utilizando la gráfica de la función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Halla la antiimagen utilizando la expresión analítica de la función.
Actividad: Dominio e imagen de una función
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
|
Determinación del dominio de una función
El dominio de una función puede estar determinado o limitado por diferentes razones:
- Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de
(Por ejemplo, si en la expresión analítica aparecen denominadores que se anulan o radicandos que toman valores negativos)
- Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, el lado no puede tomar valores negativos)
- Por voluntad de quien propone la función (A veces nos puede interesar estudiar sólo un trozo de la función).
Ejemplos: Dominio de una función dada por una expresión analítica
- Halla el dominio de las funciones:
- a)
- a)
- b)
- b)
- c)
- c)
- d)
(Área de un cuadrado de lado
)
- d)
- a) Su dominio es
, por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de
da un valor de
válido.
- b) Su dominio es
, porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.
- c) Su dominio es
, porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.
- d) Su dominio es
, porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Intervalos. Notación.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Dominio de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Rango o imagen de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Conceptos de dominio y rango de una función. Ejemplos
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Dominio y rango de una función. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Halla el dominio de .
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Halla el dominio de .
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Halla el dominio de .
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Halla el dominio de .
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Halla el dominio de .
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/Khan.jpg/22px-Khan.jpg)
Halla el dominio de .
Dominio de una función dada por su expresión analítica.
Videos
Videos sobre el dominio de definición de una función
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Dominio de definición de una función.
- Interpretación gráfica del dominio.
- Necesidad de saber el dominio de una función.
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Hay ciertas reglas en matemáticas que no se pueden violar. Aquí las vamos a recordar.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Hay funciones que a la hora de trabajar con ellas no presentan ningún problema; otras sin embargo son realmente peligrosas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Ejemplos de algunas funciones "peligrosas" y de otras que no presentan ningún problema.
Ejemplos: Dominio de definición de una función
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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Cálculo del dominio de una función
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- Hay funciones que a la hora de trabajar con ellas no presentan ningún problema; otras sin embargo son realmente peligrosas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Ejemplos de algunas funciones "peligrosas" y de otras que no presentan ningún problema a la hora, por ejemplo, de calcular su dominio.
Ejemplos: Dominio de definición de una función
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