Plantilla:Raíces

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Plantilla:Raices: definición y propiedades

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Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultaado será un número irracional.

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.

ejercicio

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas

Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}
Solución:

a) Descomponemos 216=2^3 \cdot 3^3.

Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6

Luego \sqrt[3]{216} es racional.

b) Descomponemos \cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}.

Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

\sqrt[4]{0'0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\cfrac{2^2}{10^1}=\cfrac{4}{10}=0'4

Luego \sqrt[4]{0'0256} es racional.

c) Descomponemos 192=2^6 \cdot 3\;\!.

La potencia de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.

Luego \sqrt[3]{192} es irracional.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

ejercicio

Proposición

Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}

Demostración:

Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz:

(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m
Ejemplos: 

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:

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ejercicio

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:
a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}
Solución:

Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.

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ejercicio

Actividad Interactiva: Radicales

Actividad 1: De radical a potencia.
Actividad:
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Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

Calculadora

Raíz cuadrada

Calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada

Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Raíz cuadrada.

Ejemplo:
  • Operación: \sqrt {16}


  • Procedimiento: Raíz cuadrada 16\;\! Obtener resultado


  • Solución: 4\;\!
ejercicio
Advertencia:

Ten cuidado, si trabajas con números enteros, porque la calculadora sólo da una de las dos soluciones posibles, la positiva.

Raíz cúbica

Calculadora

Calculadora: Raíz cúbica

Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla Raíz cúbica.

Ejemplo:
  • Operación: \sqrt [3] {8}


  • Procedimiento: Shift Raíz cúbica 8\;\! Obtener resultado


  • Solución: 2\;\!

Otras raíces

Calculadora

Calculadora: Otras raíces

Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla Raíz de índice x.

Ejemplo:
  • Operación: \sqrt [4]{81}


  • Procedimiento: 4\;\! Shift Raíz de índice x 81\;\! Obtener resultado


  • Solución: 3\;\!

ejercicio

Actividad Interactiva: Raíces y potencias con calculadora

Actividad 1: Potencias con calculadora científica.
Actividad:
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Actividad 2: Radicales con calculadora científica.
Actividad:
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Actividad 3: Operaciones combinadas de radicales con calculadora científica.
Actividad:
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