Las cónicas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Secciones cónicas
2 Las cónicas como lugares geométricos
3 Excentricidad de una cónica

Secciones cónicas

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.

Según como corte el plano al cono tendremos (ver figura):

Hipérbola: el plano forma con la base un ángulo mayor que el que forma la generatriz.
Parábola: el plano es paralelo a la generatriz.
Elipse: el plano forma con la base un ángulo menor que el que forma la generatriz.
Circunferencia: el plano es paralelo a la base.

La primera definición de sección cónica aparece en Grecia, cerca del año 350, donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Pérgamo.

A continuación vamos a ver definir las secciones cónicas como lugares geométricos de puntos del plano.

Las cónicas como lugares geométricos

Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ , del plano, cuya distancia al centro es $r\,$ .

$d(P,O)=r\,$

Actividad interactiva: Circunferncia

Actividad 1: Trazado de la circunferencia.

Actividad:

Para dibujar una circunferencia sobre un papel, fijas en un punto con una chincheta el extremo de una cuerda de longitud igual al radio. En el otro extremo de la cuerda, fijas un lápiz y, manteniendo tensa la cuerda, vas trazando una línea.

Activa la traza, desliza el punto P y observa.

¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
¿Qué representa el segmento r?

Click aquí si no se ve bien la escena

Par más detalles consulta el tema de la circunferencia.

Elipse

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la elipse ( $k > d(F,F')\,$ ), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a $k\,$ :

$d(P,F)+d(P,F')=k\,$

Actividad interactiva: Elipse

Actividad 1: Trazado de la elipse.

Actividad:

Para dibujar una elipse sobre un papel, fijas con chinchetas los extremos de una cuerda en dos puntos, de manera que la longitud de la cuerda sea mayor que la distancia entre los dos puntos de fijación. A continuación, trazas una línea deslizando un lápiz apoyado en la cuerda que deberás mantener tensa.

En la siguiente escena, activa la traza, desliza el punto P y observa.

¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
¿Qué representan los segmentos morados?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
¿Qué ocurre si pones c=0?

Click aquí si no se ve bien la escena

Par más detalles consulta el tema de la elipse.

Hipérbola

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la hipérbola ( $k < d(F,F')\,$ ), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a $k\,$ :

$|d(P,F)-d(P,F')|=k\,$

Actividad interactiva: Hipérbola

Actividad 1: Trazado de la hipérbola.

Actividad:

Activa la traza, desliza el punto P y observa.

¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?

Click aquí si no se ve bien la escena

Par más detalles consulta el tema de la hipérbola.

Parábola

Dados un punto $F\,$ llamado foco, y una recta $d\,$ , llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano que equidistán del foco y de la directriz:

$d(P,F)=d(P,d)\,$

Actividad interactiva: Parábola

Actividad 1: Trazado de la parábola.

Actividad:

Activa la traza, desliza el punto P y observa.

¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?

Click aquí si no se ve bien la escena

Par más detalles consulta el tema de la parábola.

Excentricidad de una cónica

La excentricidad $e\,$ de una cónica es un parámetro que determina el grado de desviación de la cónica con respecto a una circunferencia.

Valores de la excentricidad de las cónicas:

La excentricidad de una circunferencia es cero ( $e=0\,$ ).
La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 ( $0<e<1\,$ ).
La excentricidad de una parábola es 1 ( $e=1\,$ ).
La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1 ( $e>1\,$ ).

Las órbitas de los planetas y de los cometas:

Los planetas tienen órbitas elípticas, siendo uno de sus focos el Sol, con excentricidad casi nula (muy parecidas a una circunferencia). La excentricidad de la tierra es 0,017.
Las órbitas de los cometas son elípticas, muy excéntricas (muy alargadas), algunas incluso son parabólicas e hiperbólicas.
- Los cometas de órbitas parabólicas y más los de órbitas hiperbólicas, debemos considerarlos como astros sólo visibles una vez, a menos que durante su trayecto por el interior del sistema Solar pasen por la proximidad de un astro de gran masa, como Júpiter, y que, por efecto de su gran fuerza atractiva, o capture, transformando su primitiva órbita abierta en una elipse y, por lo tanto, obligándole a dar vueltas alrededor del Sol.
- La sección cónica que exhibe una órbita depende de su energía total. Si la energía total del sistema es negativa, entonces la órbita es ligada y asumirá una conformación elíptica. Ahora, si es exactamente igual a cero, la órbita será desligada y tendrá una forma parabólica. Si la energía es positiva, la órbita será también desligada y seguirá una hipérbola.