Posiciones relativas de dos rectas del plano (1ºBach)

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Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.

Veamos como se averigua dependiendo del tipo de ecuaciones que nos den.

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas

Dadas las rectas: $r: \, \begin{cases} x=a+bt \\ y=c+dt \end{cases}$ y $r': \, \begin{cases} x=a'+b's \\ y=c'+d's \end{cases}$

para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, $s\,$ y $t\,$ :

$\begin{cases} a+bt=a'+b's \\ c+dt=c'+d's \end{cases}$

Si el sistema es compatible determinado (una solución: $(t_0,s_0)\,$ ), las dos rectas se cortan en un punto, que se obtiene sustituyendo los parámetros $t_0\,$ y $s_0\,$ , en las ecuaciones paramétricas.
Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas.
Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes.

Ejemplo: Posición relativa de dos rectas

Determina la posición relativa de las rectas: $r: \, \begin{cases} x=5-t \\ y=3t \end{cases}$ y $r': \, \begin{cases} x=-1+2t \\ y=6-3t \end{cases}$

Solución:

Hay que resolver el siguiente sistema:

$\begin{cases} 5-t=-1+2s \\ 3t=6-3s \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} t+2s=6 \\ 3t+3s=6 \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} t+2s=6 \\ t+s=2 \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} s=4 \\ t=-2 \end{cases}$

Luego las rectas son secantes, y su punto de corte lo obtenemos sustituyendo estas soluciones en cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas, por ejemplo, en la primera:

$r: \, \begin{cases} x=5-t \\ y=3t \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} x=5-(-2) \\ y=3 \cdot (-2) \end{cases} \; \rightarrow \; \begin{cases} x=7 \\ y=-6 \end{cases}$

Solución: Las dos rectas se cortan en el punto $(7,-6)\,$ .

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas

Dadas las rectas: $r: \, Ax+By+C=0$ y $r': \, A'x+B'y+C'=0$

para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, $x\,$ e $y\,$ :

$\begin{cases} Ax+By+C=0 \\ A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$

Si el sistema es compatible determinado (una solución: $(x_0,y_0)\,$ ), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando $\cfrac{A}{A'} \ne \cfrac{B}{B'}$ ).
Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando $\cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} \ne \cfrac{C}{C'}$ ).
Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando $\cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'}$ ).

Ejemplo: Posición relativa de dos rectas

Determina la posición relativa de las rectas: $r: \, x-2y+4=0$ y $r': \, -2x+4y+4=0$

Solución:

Hay que resolver el siguiente sistema:

$\begin{cases} \quad \; x-2y+4=0 \\ -2x+4y+4=0 \end{cases} \, \rightarrow_{ \; 2 \cdot (I) + (II)} \; \rightarrow \; 0x+0y+12=0 \rightarrow$ No tiene solución.

Solución: Las dos rectas son paralelas.

Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones explícitas

Dadas las rectas: $r: \, y=mx+n$ y $r': \, y=m'x+n'$

para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, $x\,$ e $y\,$ :

$\begin{cases} y=mx+n \\ y=m'x+n' \end{cases}$

Si el sistema es compatible determinado (una solución: $(x_0,y_0)\,$ ), las dos rectas se cortan en ese punto. (Esto ocurre cuando las pendientes son distintas: $m \ne m'$ ).
Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Esto ocurre cuando $m=m' \, , n \ne n'$ ).
Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Esto ocurre cuando $m=m' \, , n = n'$ ).