Plantilla:Ecuaciones bicuadradas

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Las ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable $x^2=y\,\!$ . Entonces, la ecuación quedará como una de segundo grado

$ay^2 + by + c = 0 \,\!$

Una vez resuelta esta ecuación en $y\;$ , tenemos que averiguar el valor de la $x\;$ . Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo $x=\pm \sqrt{y}$ . En consecuencia, las soluciones $y<0\,\!$ , las rechazaremos, ya que no darán solución para la $x\,\!$ , quedándonos sólo con las soluciones de $y\,\!$ no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la $x\,\!$ .

Ejemplo: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) $x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!$

b) $x^4 - 3x^2 - 10 = 0\;\!$

c) $x^4 - 9x^2 = 0 \;\!$

Solución:

$x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-7y+6=0$

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}$

Soluciones: $-1,\, 1,\, -\sqrt 6,\, \sqrt 6\,\!$

$x^4 - 3x^2 - 10 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-3y-10=0$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}=\frac{3 \pm 7}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-2 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}$