Divisibilidad

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Tabla de contenidos

1 Múltiplos y divisores
- 1.1 Propiedades
2 Criterios de divisibilidad
3 Números compuestos y números primos
4 Máximo común divisor
- 4.1 Números primos entre sí
5 Mínimo común múltiplo
6 Ejercicios
- 6.1 Ejercicios
- 6.2 Problemas

Múltiplos y divisores

$a\;\!$ es multiplo de $b\;\!$ , y escribiremos $a= \dot b$ , si existe un número natural $n\;\!$ tal que $a=b \cdot n$ . En tal caso, $b\;\!$ es divisor de $a\;\!$ y escribiremos $b|a \;\!$

Por ejemplo, 12 es múltiplo de 4 $(12= \dot 4)$ porque $12=4 \cdot 3$ . Por tanto, 4 es divisor de 12 $(4|12 \;\!)$ .

Actividades Interactivas - Múltiplos y divisores

Propiedades

Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
Todo número natural tiene infinitos múltiplos, que se obtienen multiplicándolo por un número natural cualquiera.
El 0 es múltiplo de cualquier número.
Todo número natural tiene, al menos, dos divisores: 1 y él mismo.

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por:	Criterio
2	El número acaba en 0 ó cifra par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.
8	El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.
11	Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

Actividad Interactiva - Múltiplos de un número

Múltiplos de un número

Números compuestos y números primos

Un número natural es compuesto si se puede expresar como producto de otros dos números naturales distintos de él y la unidad. En caso contrario es un número primo.

Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo. Por ejemplo, 15 es compuesto porque $15=3 \cdot 5$ . Sin embargo, los números como 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos. (Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo)

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar números primos que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

Actividades Interactivas - Criba de Eratóstenes

Criba de Eratóstenes

Cómo averiguar si un número es primo

Actividades Interactivas - ¿Primo o compuesto?

Descubre si un número es primo o compuesto

Ejemplo: Averiguar si un número es primo

Averigua si el número 167 es primo.

Solución:

Efectuamos las siguientes divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que sea divisible o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir:

Dividimos 167 entre 2: cociente=83 y resto=1. No es divisible por 2.

Dividimos 167 entre 3 porque 83>3: cociente=55 y resto=2. No es divisible por 3.

Dividimos 167 entre 5 porque 55>5: cociente=33 y resto=2. No es divisible por 5.

Dividimos 167 entre 7 porque 33>7: cociente=23 y resto=6. No es divisible por 7.

Dividimos 167 entre 11 porque 23>11: cociente=15 y resto=2. No es divisible por 11.

Dividimos 167 entre 13 porque 15>13: cociente=12 y resto=11. No es divisible por 13.

Paramos y no dividimos 167 entre 17 porque 12<17.

Por tanto, 167 es primo.