Divisibilidad

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Tabla de contenidos

1 Múltiplos y divisores
- 1.1 Propiedades
2 Criterios de divisibilidad
3 Números compuestos y números primos
4 Máximo común divisor
- 4.1 Números primos entre sí
5 Mínimo común múltiplo
6 Ejercicios
- 6.1 Ejercicios
- 6.2 Problemas

Múltiplos y divisores

$a\;\!$ es multiplo de $b\;\!$ , y escribiremos $a= \dot b$ , si existe un número natural $n\;\!$ tal que $a=b \cdot n$ . En tal caso, $b\;\!$ es divisor de $a\;\!$ y escribiremos $b|a \;\!$

Por ejemplo, 12 es múltiplo de 4 $(12= \dot 4)$ porque $12=4 \cdot 3$ . Por tanto, 4 es divisor de 12 $(4|12 \;\!)$ .

Actividades Interactivas - Múltiplos y divisores

Propiedades

Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
Todo número natural tiene infinitos múltiplos, que se obtienen multiplicándolo por un número natural cualquiera.
El 0 es múltiplo de cualquier número.
Todo número natural tiene, al menos, dos divisores: 1 y él mismo.

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por:	Criterio
2	El número acaba en 0 ó cifra par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.
8	El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.
11	Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

Actividad Interactiva - Múltiplos de un número

Múltiplos de un número

Números compuestos y números primos

Un número natural es compuesto si se puede expresar como producto de otros dos números naturales distintos de él y la unidad. En caso contrario es un número primo.

Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo.

Por ejemplo, 15 es compuesto porque $15=3 \cdot 5$ . Sin embargo, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos.

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar números primos que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

Actividades Interactivas - Criba de Eratóstenes

Criba de Eratóstenes

Cómo averiguar si un número es primo

Actividades Interactivas - ¿Primo o compuesto?

Descubre si un número es primo o compuesto

Ejemplo: Averiguar si un número es primo

Averigua si el número 167 es primo.

Solución:

Efectuamos las siguientes divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que sea divisible o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir:

Dividimos 167 entre 2: cociente=83 y resto=1. No es divisible por 2.

Dividimos 167 entre 3 porque 83>3: cociente=55 y resto=2. No es divisible por 3.

Dividimos 167 entre 5 porque 55>5: cociente=33 y resto=2. No es divisible por 5.

Dividimos 167 entre 7 porque 33>7: cociente=23 y resto=6. No es divisible por 7.

Dividimos 167 entre 11 porque 23>11: cociente=15 y resto=2. No es divisible por 11.

Dividimos 167 entre 13 porque 15>13: cociente=12 y resto=11. No es divisible por 13.

Paramos y no dividimos 167 entre 17 porque 12<17.

Por tanto, 167 es primo.