Número áureo

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El número áureo

El número áureo, es el primer número irracional del que se tuvo conciencia de que lo era. Su valor es:

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803398874988...

Es representado por la letra griega phi φ (en minúscula) o Φ (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

También se le conoce como número de oro, razón áurea o divina proporción (por la obra de Luca Pacioli, De Divina Proportione, escrito entre 1496 y 1498).

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Proposición 1

Si dividimos un segmento en dos partes a y b, de manera que la longitud total, a+b, es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b, entonces la razón de dicha proporción es el número áureo.
\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b} = \phi
Fig.1 El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.
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Fig.1 El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

Rectángulo áureo

El rectángulo áureo (o rectángulo dorado) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual al número áureo.

Los griegos consideraban que un rectángulo de tales características era especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte.

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Proposición 2

Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.
Fig.2 Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.
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Fig.2 Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Construcción del rectángulo áureo

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Construcción del rectángulo áureo con regla y compás

En la matemática clásica, Euclides construye el rectángulo áureo con regla y compás, siguiendo los siguientes pasos:
  1. Se construye un cuadrado de lado unidad (de rojo, en la Fig. 3).
  2. Se traza una segmento desde la mitad del lado del cuadrado hasta una de sus esquinas.
  3. Empleando ese segmento como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en la prolongación de la base del cuadrado.
  4. Ese punto obtenido determina la base del rectángulo áureo con altura igual al lado del cuadrado.

Fig.3 Construcción del rectángulo áureo con regla y compás .
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Fig.3 Construcción del rectángulo áureo con regla y compás .

El número áureo en el péntágono estrellado

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El número áureo en el péntágono estrellado

La razón entre la diagonal del del péntagono regular y su lado es igual al número áureo. (Ver Fig.4 )


\cfrac{d}{l}= \phi

Fig.4. En el petágono estrellado se cumple que d / l = Φ.
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Fig.4. En el petágono estrellado se cumple que d / l = Φ.

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