Plantilla:Valor absoluto (1º Bach)

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El valor absoluto o módulo de un número real $a\;$ es el propio número $a\;$ , si es positivo, o su opuesto, $-a\;$ , si es negativo. Es decir:

$|a| = \begin{cases} \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\ -a\, , & \mbox{si } a < 0 \end{cases}$

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real $a\;$ corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde $a\;$ hasta el cero.

Ejemplo 1:

Calcula el valor absoluto de los siguientes números:

$7.4,~0,~-5.87,~\sqrt{9},~1-\sqrt{3}$

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Solución:

$|7.4|=7.4\;$

$|0|=0\;$

$|-5.87|=5.87\;$

$|\sqrt{9}|=|\pm 3|= 3\;$

$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\;$

Ejemplo 2:

¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes expresiones?

a) $|x|=3\;$

b) $|x|=0\;$

c) $|x|=\sqrt{3}\;$

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Solución:

a) $|x|=3 \iff x=3 \quad \acute{o} \quad x=-3$

b) $|x|=0 \iff x=0$

c) $|x|= \sqrt{3} \iff x= \sqrt{3} \quad \acute{o} \quad x=-\sqrt{3}$

Valor absoluto de un número real (2´47") Sinopsis:

Definición del valor absoluto de un número.
Ejemplos.
Propiedades del valor absoluto.

Propiedades del valor absoluto

Propiedades del valor absoluto

$|x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0$
$\forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k$
$|x \cdot y|= |x| \cdot |y|$
$|x + y| \le |x|+|y|$

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean $x, y, z \in \mathbb{R}$ , se cumplen las siguientes propiedades:

1. $x<y \Rightarrow x+z<y+z$

2. $x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z$

3. $x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z$

4. $x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}$

Como consecuencia, en una inecuación:

Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad? (10'00") Sinopsis:

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad?. Ejemplos.

(pág. 33)

Ejercicios resueltos: Valor absoluto

2) ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) $|x| \ge 3\;$

b) $|x-2|\le 3\;$

Solución:

a) $|x| \ge 3 \iff x \le-3 \quad \acute{o} \quad x \ge 3 \iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right )$