El conjunto de los números enteros (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Números naturales
- 1.1 Representación de los números naturales
2 Números enteros
- 2.1 Representación de los números enteros
3 Valor absoluto de un entero
4 Opuesto de un entero
5 Orden en el conjunto de los enteros

Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

$\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Advertencia:

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero (0) puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de las matemáticas, el conjunto de los números naturales puede incluir o no al cero.

Ejemplos

Veamos distintos ejemplos de uso de los números naturales:

Como número cardinal: Los días de la semana son 7.
Como número ordinal: El atleta británico quedó 3º en la prueba de cien metros lisos.
Como identificador: Tú número de carnet de socio del Atleti es el 2868.

Los números naturales

Tutorial 1 (3'08") Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 2 (4'56") Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 3 (4'19") Sinopsis:

Tutorial de introducción al tema:

Números naturales.
Sistemas de numeración.
Sistema de numeración decimal.

Acertijo (2'06") Sinopsis:

Hace unas horas tenía 16 años y el año que viene cumpliré 19. ¿Cómo explicas esta situación?

Los números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números naturales.

¿Qué números aparecieron primero, los cardinales o los ordinales?

Existen dos teorías sobre el origen de la numeración, que además está relacionada con la cuestión de qué números aparecieron primero, los cardinales (1, 2, 3,...) o los ordinales (1º, 2º, 3º,...) La teoría que genera más consenso defiende el argumento de la necesidad. Todo habría comenzado a causa de la necesidad de contar objetos; por ello se habrían creado primero los números cardinales y después, los ordinales.

La otra teoría defiende la base espiritual de los números, que habrían tenido un uso ritual: cierto tipo de ceremonias requerían que los participantes se desplazaran o se situaran en un orden ritual preestablecido; por eso los números ordinales serían anteriores a los cardinales. Esta teoría además postula que los números se originaron en un lugar geográfico determinado, desde el que se propagaron al resto del mundo; también establece la división de los números naturales en pares e impares, considerando los impares masculinos y los pares, femeninos, una clasificación que comparten hoy en día muchas culturas del planeta.

(Extracto de "El mundo es matemático: Del ábaco a la revolución industrial". Pág. 10)"

El género de los números y otras curiosidades

Véanse los artículos de la BBC:

Representación de los números naturales

Podemos representarlos en una recta:

Números enteros

El conjunto de los números enteros es

$\mathbb{Z}=\left \lbrace \cdots, -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Son infinitos y, al igual que los números naturales sirven para contar. Sin embargo, los números enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo deudor en una cuenta bancaria, un año de la era antes de Cristo, el número de una planta del sótano de un edificio, etc.

Exposición: Los números enteros Descripción:

Representación de los números enteros

Podemos representarlos en una recta:

Representación de los números enteros en la recta numérica Descripción:

En esta escena vas a conocer como se representan los números enteros en la recta numérica.

Valor absoluto de un entero

El valor absoluto de un número entero $a\;$ se representa por $|a|\;$ y se define de la siguiente manera:

Si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo.
Si el número es negativo, su valor absoluto es igual a su opuesto.

Ejemplos

$|-3|=3 \,\!$
$|+5|=5 \,\!$

Propiedades

El valor absoluto de un número es la distancia que lo separa del cero en la recta numérica.
El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.
El valor absoluto de cero es cero.

Valor absoluto de un número entero

Tutorial 1 (2'43") Sinopsis:

Valor absoluto de un número entero. Interpretación métrica.

Tutorial 2 (2'43") Sinopsis:

Representación de los números enteros en la recta real.
Valor absoluto de un número entero. Interpretación métrica.

Tutorial 3 (4'01") Sinopsis:

Valor absoluto de un número entero. Ejemplos.

Tutorial 4 (4'05") Sinopsis:

Valor absoluto de un número entero. Ejemplos.

Tutorial 5 (2'36") Sinopsis:

Valor absoluto de un número entero. Ejemplos.

Tutorial 6 (16'21") Sinopsis:

En este video vamos a ver lo que es el valor absoluto de un número entero y también vamos a aprender a calcularlo.

Tutorial 7 (1'14") Sinopsis:

Valor absoluto de un entero.

Tutorial 8: Distancia entre dos puntos (5'33") Sinopsis:

Valor absoluto como distancia entre números.

Ejercicio 1 (2'25") Sinopsis:

Halla $|x|\;$ , cuando $x=5\;$ , $x=-10\;$ y $x=-12\;$ .

Ejercicio 2 (4'08") Sinopsis:

Compara:

a) $|-9|\;$ y $|-7|\;$

b) $|2|\;$ y $|3|\;$

c) $|-8|\;$ y $|8|\;$

d) $|-1|\;$ y $|2|\;$ .

Ejercicio 3 (2'25") Sinopsis:

Ordena de menor a mayor: $|5|\;$ , $|9-7|\;$ , $|5-15|\;$ , $|0|\;$ y $|-3|\;$ .

Valor absoluto de un número entero

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que puedes obtener el valor absoluto de un número entero.
Actividad en la que deberás obtener el valor absoluto de un número entero.

Actividad 2 Descripción:

Actividad 3 Descripción:

Aprende a pensar el valor absoluto como la distancia a cero, y practica encontrar valores absolutos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Autoevaluación 1 Descripción:

Halla el valor absoluto.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Autoevaluación 2 Descripción:

Compara valores absolutos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Autoevaluación 3 Descripción:

Cálculo de distancias mediante valores absolutos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Valor absoluto de un número entero

Actividad: Valor absoluto de un número entero

Calcula

a) $|-7|\!$

b) $|23|\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) |-7|

b) |23|

Opuesto de un entero

El opuesto de un número entero, $a\;\!$ , es otro número entero, $-a\;\!$ , simétrico de $a\;\!$ respecto del cero. En consecuencia, se encuentra a la misma distancia del cero que $a\;\!$ , pero tiene signo contrario. Lo escribiremos $Op(a)=-a\;$ .

Observación:

Es obvio que si $Op(a)=-a\;$ entonces $Op(-a)=a\;$ , y viceversa. Por eso, también se dice que $a\;$ y $-a\;$ son números opuestos.

Ejemplos

$Op(3)=-3\;$ (El opuesto de 3 es -3).
$Op(-7)=7\;$ (El opuesto de -7 es 7).
$Op(0)=0\;$ (El opuesto de 0 es 0).

Opuesto de un número entero

Tutorial 1 (2'11") Sinopsis:

Concepto de opuesto de un número entero. Ejemplos.

Tutorial 2 (4'08") Sinopsis:

Concepto de opuesto de un número entero. Ejemplos.

Tutorial 3a (5'22") Sinopsis:

Opuesto de un número entero. Representación en la recta numérica.

Tutorial 3b (7'11") Sinopsis:

Uso del signo "menos" para la obtención del opuesto de un número entero.

Ejercicios (4'34") Sinopsis:

Ejercicios sobre números opuestos.

Opuesto de un número entero

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que podrás ver la relación entre un número y su opuesto mediante su representación en la recta real.
Actividad en la que deberás obtener el opuesto de un número entero.

Actividad 2 Descripción:

Números opuestos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Actividad 3 Descripción:

Números opuestos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Autoevaluación 1 Descripción:

Números opuestos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Autoevaluación 2 Descripción:

Números opuestos.

Aviso: Alguna pregunta puede ser de números que no son enteros.

Opuesto de un número entero

Actividad: Opuesto de un número entero

a) Calcula el opuesto de 3

b) Calcula el opuesto de -5

c) Represénta los números del apartado anterior en la recta real.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) opposite 3

b) opposite -5

c) number line {-5,5}

Orden en el conjunto de los enteros

En la representación de los números enteros en la recta numérica se observa el orden que existe en dicho conjunto.

Un número es mayor que otro si está situado más a la derecha en la recta numérica y es menor si está situado más a la izquierda.

Relación de orden

Dados dos números, $a\;$ y $b\;$ , se dará uno de los siguientes casos:

El primero es menor que el segundo: $a<b\;$ (Se lee "a es menor que b").
El primero es igual que el segundo: $a=b\;$ (Se lee "a es igual que b").
El primero es mayor que el segundo: $a>b\;$ (Se lee "a es mayor que b").

Notación:

Al comparar números, además de los símbolos anteriores, podemos utilizar también los siguientes:

Menor o igual que ( $\le\;$ )
Mayor o igual que ( $\ge\;$ )
Distinto ( $\ne\;$ )

Propiedades

Todo número negativo es menor que cero y todo número positivo es mayor que cero.
Si dos números son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto.
Si dos números son negativos, el mayor es el que tiene menor valor absoluto.
Si $a > b\;$ , entonces $-b > -a \;$

Ejemplos

$15 > 3\,$

$-12 > -15\,$

$15 > 0 > -15\,$

$5 > 3 \Rightarrow -3 > -5,$

Orden en el conjunto de los números enteros

Tutorial 1 (1'49") Sinopsis:

Representación y ordenación de números enteros.

Tutorial 2 (19'49") Sinopsis:

Hacer una comparación de números enteros significa conocer cuál de esos números es mayor (o menor que el otro). Una forma de saberlo es haciendo la representación gráfica de esos números enteros sobre la recta. Los números situados más hacia la derecha en la recta siempre son mayores que los situados a su izquierda.

Tutorial 3 (2'48") Sinopsis:

Ordenando números negativos.

Ejercicio 1 (1'13") Sinopsis:

Comprueba gráficamente que 5 > -5.

Ejercicio 2 (1'27") Sinopsis:

Comprueba gráficamente que -6 > -1.

Ejercicio 3 (1'33") Sinopsis:

Escribe y representa todos los números enteros más grandes que -1 y más pequeños que +5.

Ejercicio 4 (1'13") Sinopsis:

Escribe y representa en la recta numérica todos los números comprendidos entre -5 y 1.

Ejercicio 5 (1'29") Sinopsis:

Escribe y representa en la recta numérica todos los números enteros más grandes que -3 y más pequeños que 3.

Ejercicio 6 (2'39") Sinopsis:

Escribe un valor correcto para x e y que cumplan x < 8 < y.

Ejercicio 7 (2'44") Sinopsis:

Ordena de menor a mayor: 5, -3, 0, 4, -6, +1, -1, 3, -7, +6

Ejercicio 8 (2'23") Sinopsis:

En una estación meteorológica al sur de Argentina se realizó una medición de la temperatura en el transcurso del día, obteniendo los siguientes resultados: -10º, -3º, 12º, 1º, -8º, -5º, 4º. Ordénalos.

Orden en el conjunto de los números enteros

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que puedes ver como se ordenan dos números enteros comparando su posición en la recta numérica.
Actividad para ordenar dos números enteros.
Actividad para ordenar varios números enteros.

Actividad 2 Descripción:

Actividad 3 Descripción:

Ordenar números enteros.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ordenar números enteros.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el orden en el conjunto de los números enteros.

Orden en el conjunto de los números enteros

Actividad: Orden en el conjunto de los números enteros

a) Ordena los siguientes números enteros: -3, -16, 2, -7, 9, 0.

b) ¿Es -6<-4?

c) ¿Están bien ordenados estos números: -2<-3<0<7<10 ?

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) sort[{-3, -16, 2, -7, 9, 0}]

b) -6<-4

c) -2<-3<0<7<10

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Categorías: Matemáticas | Números

El conjunto de los números enteros (1º ESO)

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