Números complejos: Definición (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Necesidad de ampliación del campo numérico
2 Unidad imaginaria
- 2.1 Potencias de la unidad imaginaria
3 El conjunto de los números complejos
4 Representación gráfica de los números complejos

Necesidad de ampliación del campo numérico

Hay ecuaciones como

$x^2 +9 = 0 \,$

que no tienen solución en el conjunto de los números reales

$x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}$ (no existe en $\mathbb{R}$ )

Vamos a definir un nuevo conjunto que amplie al conjunto de los números reales y en el cual estas ecuaciones si tengan solución. Ese conjunto va a ser el conjunto de los números complejos. Para ello habrá que a empezar dando sentido a las raíces de números negativos.

Breve resumen de la historia de tu relación con los números (4´18") Sinopsis:[Mostrar]

Unidad imaginaria

Desde Al-Jwarizmi (800 DC), precursor del Álgebra, que sólo obtenía las soluciones positivas de las ecuaciones, pasaron más de ocho siglos, hasta que finalmente Descartes en 1637 puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos, numeros imaginarios. En 1572, Raffaelle Bombelli, un matemático e ingeniero italiano, las inventó e hizo uso de ellas en sus cálculos en la resolución de ecuaciones. Leibniz decía de los números imaginarios que eran "una especie de anfibios entre el ser y la nada".

Se denomina unidad imaginaria a $\sqrt{-1}$ . Se designa por la letra $i\,$ .

$i=\sqrt{-1}$

El nombre de i le fue dado por Euler en 1777, por imaginario. Y llamó imaginarios a todos los números en cuya expresión aparecía la i.

Con esta definición, la ecuación anterior ahora si tiene solución "imaginaria":

$x^2 +9 = 0\;$

$x=\pm \sqrt{-9} \,=\, \pm 3 \, \sqrt{-1} \,=\, \pm \, 3i$

René Descartes

Potencias de la unidad imaginaria

Potencias de i

$i^0=1\,$
$i^1=i\,$
$i^2=(\sqrt{-1} \, )^2=-1$
$i^3=i \cdot i^2=-i$
$i^4=i^2 \cdot i^2= (-1) \cdot (-1)=1$

A partir de $i^4\,$ se repiten cíclicamente los valores.

Ejemplo [Mostrar]

La unidad imaginaria [Mostrar]

El conjunto de los números complejos

Definimos el conjunto de los números complejos de la siguiente manera:

$\mathbb{C}=\big\{ a+bi \, / \, a, \, b \in \mathbb{R} \big\}$

Forma binómica de un número complejo

La expresión $a+bi\,$ se denomina forma binómica de un número complejo.

Si escribimos $z=a+bi\,$ , entonces:

$a\,$ se le llama parte real o componente real y se denota $Re(z)=a\,$ .
$b\,$ se llama parte imaginaria o componente imaginaria y se denota $Im(z)=b\,$ ..

Si $b=0\,$ , lo que tenemos es un número real, por tanto $\mathbb{R} \sub \mathbb{C}$ .

Si $b \ne 0\,$ , lo que tenemos no es un número real, se llama número imaginario.

Si $a=0\,$ y $b \ne 0\,$ , se le llama número imaginario puro.

Igualdad de números complejos

Dos números complejos en forma binómica decimos que son iguales si tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias.

$\forall z, w \in \mathbb{C}, \ z=w \iff Re(z)=Re(w) ~\wedge~ Im(z)=Im(w)$

$\mathbb{C} \mbox{ Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\ & \mbox{Enteros negativos} \\ & \mbox {Cero} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases}$

Opuesto y conjugado de un complejo

Se define el opuesto de un complejo $z=a+bi\,$ como el número complejo $-z=-a-bi\,$ .
Se define el conjugado de un complejo $z=a+bi\,$ como el número complejo $\bar z =a-bi\,$ .

Proposición

Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados.

Ejemplo: [Mostrar]

La unidad imaginaria. Números imaginarios puros. Números complejos (10´20") Sinopsis:[Mostrar]

7 ejercicios (8´06") Sinopsis:[Mostrar]

Representación gráfica de los números complejos

Para representar los números reales utilizabamos una recta, la recta real. Para representar los números complejos vamos a utilizar un plano, el plano complejo. ¿Por qué?. Muy simple, un número complejo en forma binómica $a+bi\,$ queda determinado por un par de números reales: su parte real, $a\,$ y su parte imaginaria, $b\,$ . De esta manera, el par $(a,b)\,$ representa las coordenadas de un punto del plano. Diremos que $(a,b)\,$ es el afijo del número complejo $a+bi\,$ .

Ahora, al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.

También podemos representar al número complejo mediante un vector de origen $(0,0)\,$ y extremo $(a,b)\,$ .