Paralelismo y perpendicularidad en el plano (1ºBach)

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Paralelismo

He aquí dos criterios para determinar si dos rectas son paralelas:

Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección.

Proposición

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales.
Dos rectas son paralelas si sus pendientes coinciden.

Demostración:

La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y sabemos que dos vectores tiene la misma dirección si son proporcionales.

Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación.

Perpendicularidad

He aquí dos criterios para determinar si dos rectas son perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales.

Proposición

Dos rectas son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero.

$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0$

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes, $m\,$ y $m'\,$ , cumplen que: $m'=-\cfrac{1}{m}$ .

Demostración:

La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales y esto ocurre cuando el producto escalar de ambos es cero.

Para la segunda afirmación: Dada una recta $Ax+By+C=0\,$ , sabemos que $m=-\cfrac{A}{B}$ es la pendiente de esa recta y que $(-B,A)\,$ es su vector de dirección.

Sea $A'x+B'y+'C'=0\,$ , otra recta, con $m'=-\cfrac{A'}{B'}$ su pendiente, y $(-B',A')\,$ su vector de dirección.

Supongamos que $m'=-\cfrac{1}{m}$ . Sustituyendo:

$m'=-\cfrac{1}{m} \; \rightarrow \; -\cfrac{A'}{B'}= -\cfrac{1}{-\cfrac{A}{B}} \; \rightarrow \; -\cfrac{A'}{B'}=\cfrac{B}{A} \; \rightarrow \;$

$\; \rightarrow \; BB'=-AA' \; \rightarrow \; BB'+AA'=0 \; \rightarrow \; (-B,A) \cdot (-B',A')= 0$

Ahora, dos vectores son ortogonales si su producto escalar vale cero. Por tanto, los vectores directores de ambas rectas son perpendiculares.

Traduciendo ésto a coordenadas:

Proposición

Dos rectas con vectores de dirección $(d_1, d_2)\,$ y $(-d_2,d_1)\,$ son perpendiculares.

Demostración:

Es inmediato a partir de lo dicho antes ya que el producto escalar de estos dos vectores es cero.

Actividad interactiva: Paralelismo y perpendicularidad

Actividad 1: En la siguiente escena nos dan las ecuacionés paramétricas de tres rectas que son paralelas o perpendiculares entre sí.

Actividad:

Las ecuaciones de las rectas que aparecen en la siguiente escena son:

En azul: $\begin{cases} x=3+ 5t \\ y=7-2t \end{cases}$

$\overrightarrow{d}=(5,-2)$

En rojo: $\begin{cases} x=6+ 5t \\ y=4-2t \end{cases}$

$\overrightarrow{d}=(5,-2)$

En verde: $\begin{cases} x=6-2t \\ y=4-5t \end{cases}$

$\overrightarrow{d}=(-2,-5)$

Observa cómo son los vectores de dirección:

Los dos primeros iguales a $(5,-2)\,$ (rectas paralelas).
El tercero ortogonal con los dos primeros: $(5,-2) \cdot (-2,-5)=0$ (rectas perpendiculares)

Click aquí si no se ve bien la escena

Modifica los valores a, b, c y d, para obtener otras rectas. Observa como no varía el paralelismo ni la perpendicularidad y comprueba como son sus vectores de dirección.