Identidades (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Identidad
2 Identidades notables
3 Sacar factor común
4 Ejercicios propuestos

(Pág. 88)

Identidad

Una identidad es una expresión algebraica, en forma de igualdad, que es cierta para cualquier valor que le demos a las letras que intervienen.

Identidades notables

Los productos notables son unas identidades de ciertos productos de binomios que resultan útiles para abreviar los cálculos con expresiones algebraicas.

Productos notables

Cuadrado de una suma: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!$

Cuadrado de una diferencia: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!$

Suma por diferencia: $(a + b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \;\!$

Demostración:

Cuadrado de una suma:

$(a + b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!$

Demostración visual del cuadrado de una suma Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una suma

Cuadrado de una diferencia:

$(a - b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a^2-ab-ba+b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!$

Demostración visual del cuadrado de una diferencia Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una diferencia

Suma por diferencia:

$(a + b) \cdot (a-b) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 \;\!$

Demostración visual de la suma por diferencia Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula de la suma por diferencia

Ejemplos: Productos notables

Calcula:

a) $(5x-2)^2 \;\!$

b) $(2x-3)(2x+3) \;\!$

Solución:

a) $(5x-2)^2 = (5x)^2-2 \cdot (5x) \cdot 2+2^2=25x^2-20x+4 \;\!$

b) $(2x-3)(2x+3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9 \;\!$

Productos notables

Actividad 1a (Cuadrado de una suma) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una suma.

Actividad 1b (Cuadrado de una diferencia) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una diferencia.

Actividad 1c (Suma por diferencia) Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad de la suma por diferencia.

Autoevaluación 1a Descripción:

Productos notables.

Autoevaluación 1b Descripción:

Productos notables.

Productos notables

Tutorial 1 (9'38") Sinopsis:

Productos notables. Ejemplos.

Tutorial 2a (1'53") Sinopsis:

Las tres identidades notables.

Tutorial 2b (5'43") Sinopsis:

La identidad notable cuadrado de una suma. Ejemplos.

Tutorial 2c (4'29") Sinopsis:

La identidad notable cuadrado de una diferencia. Ejemplos.

Tutorial 2d (3'15") Sinopsis:

La identidad notable suma por diferencia. Ejemplos.

Tutorial 3a (5'48") Sinopsis:

Fórmulas del cuadrado de una suma y de una diferencia.
Ejemplos::

a) $(x+3)^2\;$

b) $(2n-7m)^2\;$

Tutorial 3b (6'08") Sinopsis:

Fórmula de la suma por diferencia.
Ejemplos:

a) $(2x+3y)(2x-3y)\;$

b) $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})\;$

c) $(x-a)(x+a)\;$

Tutorial 4 (14'05") Sinopsis:

Como se desarrollan un binomio al cuadrado y una suma por diferencia.

Tutorial 5 (25'26") Sinopsis:

Explicación de las igualdades o identidades notables y ejemplos resueltos.

Ejercicio 1a (8'39") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(2x+3)^2\,$

b) $(3m+2n)^2\,$

c) $(3x^4-5)^2\,$

d) $(5x-\sqrt{7})^2\,$

Ejercicio 1b (9'11") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(4x+7y)(4x-7y)\,$

b) $(\sqrt{5}w-3z^5)(\sqrt{5}w+3z^5)\,$

c) $(2\sqrt{3}a-3\sqrt{5}b^3)(2\sqrt{3}a+3\sqrt{5}b^3)\,$

Ejercicio 2a (2'17") Sinopsis:

Desarrolla: $(3x+5y)^2\,$

Ejercicio 2b (4'23") Sinopsis:

Desarrolla: $(2x^3+9y^4)^2\,$

Ejercicio 2c (1'33") Sinopsis:

Desarrolla: $(7m-3c)^2\,$

Ejercicio 2d (5'44") Sinopsis:

Desarrolla: $(4K^2L-5K^6L^3)^2\,$

Ejercicio 2e (2'01") Sinopsis:

Desarrolla: $(5m^3+3n^4)\cdot(5m^3-3n^4)\,$

Ejercicio 3 (5'54") Sinopsis:

Desarrolla:

a) $(x+2)\cdot(x-2)\,$

b) $(x+\sqrt{2})\cdot(x-\sqrt{2})\,$

c) $(\cfrac{1}{4}+\cfrac{2x}{3})\cdot(\cfrac{1}{4}-\cfrac{2x}{3})\,$

d) $(3\sqrt{5}+4x)\cdot(3\sqrt{5}-4x)\,$

e) $(\cfrac{2a}{3}+\cfrac{2}{a})\cdot(\cfrac{2a}{3}-\cfrac{2}{a})\,$

Ejercicio 4a (8'05") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

2a) $(2a-b)(2a+b)\;$

2b) $(\cfrac{2}{3}x-\cfrac{5}{6}y^2)(\cfrac{2}{3}x+\cfrac{5}{6}y^2)\;$

2c) $(3x-2y)^2\;$

2d) $(3x+2y)^2\;$

2e) $(x^2+\cfrac{x}{3})(x^2-\cfrac{x}{3})\;$

Ejercicio 4b (4'33") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

4a) $(x-2a)^2\;$

4b) $(x+2a)^2\;$

4c) $(2x+1)^2\;$

4d) $(2x-1)^2\;$

Ejercicio 4c (10'51") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

5a) $(3x+1)^2\;$

5b) $(3x-1)^2\;$

5c) $(2x+3)^2\;$

5d) $(5x^2+3x)^2\;$

5e) $(5x^2-3x)^2\;$

5f) $(x+2)(x-2)\;$

5g) $(3x^2+3)^2\;$

5h) $(x^2+6)(x^2-6)\;$

5i) $(6x-3)(6x+3)\;$

5j) $(2x-\cfrac{1}{2})(2x+\cfrac{1}{2})\;$

5k) $(6x-3)^2\;$

5l) $(6x+3)^2\;$

Ejercicio 5a (5'56") Sinopsis:

Calcula: $(x+3)(x-3)\;$

Ejercicio 5b (7'19") Sinopsis:

Calcula: $(x+7)^2\;$

Ejercicio 5c (2'30") Sinopsis:

Calcula: $(2x+8)(2x-8)\;$

Ejercicio 5d (3'59") Sinopsis:

Calcula: $(7x+10)^2\;$

Ejercicio 5e (8'27") Sinopsis:

Halla el área de un cuadrado cuyo lado mide $(6x-5y)\;$ .

Ejercicio 5f (10'35") Sinopsis:

Calcula:

a) $(x+9)^2\;$

b) $(x+b)^2\;$

c) $(3x-7)^2\;$

d) $(4x^2+y^2)^2\;$

e) $(2x-1)(2x+1)\;$

f) $(5a-2b)(5a+2b)\;$

Ejercicios 6a (7'50") Sinopsis:

Calcula:

a) $(x+5)^2\;$

b) $(x-5)^2\;$

c) $(x+5)(x-5)\;$

d) $(x+\cfrac{1}{2})^2\;$

e) $(x-\cfrac{1}{2})^2\;$

f) $(x+\cfrac{1}{2})(x-\cfrac{1}{2})\;$

g) $(x+\cfrac{3}{5})^2\;$

h) $(x-\cfrac{3}{5})^2\;$

i) $(x+\cfrac{3}{5})(x-\cfrac{3}{5})\;$

j) $(4x+3)^2\;$

k) $(4x-3)^2\;$

l) $(4x+3)(4x-3)\;$

m) $(2x+\cfrac{1}{3})^2\;$

n) $(2x-\cfrac{1}{3})^2\;$

o) $(2x+\cfrac{1}{3})(2x-\cfrac{1}{3})\;$

p) $(x^3+4)^2\;$

q) $(x^3-4)^2\;$

r) $(x^3+4)(x^3-4)\;$

s) $(6x^2+1)^2\;$

t) $(6x^2-1)^2\;$

u) $(6x^2+1)(6x^2-1)\;$

Otras identidades de interés (para ampliar)

Tutorial 1 (Cubo de un binomio) (12'34") Sinopsis:

Cubo de una suma: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\;$
Cubo de una diferencia: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\;$

Ejemplos.

Tutorial 1b (Suma y diferencia de cubos) (8'18") Sinopsis:

Suma de cubos: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\;$
Diferencia de cubos: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\;$

Ejemplos.

Tutorial 1c (Trinomio al cuadrado) (3'37") Sinopsis:

Cuadrado de un trinomio: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\;$

Ejemplos.

Tutorial 2a (Cubo de una suma) (6'00") Sinopsis:

Desarrollo del cubo de suma.

Tutorial 2b (Cubo de una diferencia) (5'48") Sinopsis:

Desarrollo del cubo de diferencia.

Tutorial 2c (Cuadrado de un trinomio) (7'16") Sinopsis:

Cuadrado de un trinomio.

Ejercicio 1 (9'47") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados de trinomios:

1a) $(x-y+z)^2\;$

1b) $(2x-3y+z)^2\;$

1c) $(2x+y-z)^2\;$

1d) $(2x+y-2z)^2\;$

1e) $(x-y-1)^2\;$

1f) $(2x+y+2)^2\;$

Ejercicio 2 (10'04") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados de trinomios:

3a) $(x^2-2x+3)(x^2-2x+3)\;$

3b) $(x^2-3x+3)(x^2-3x+3)\;$

3c) $(x^2-4x+2)(x^2-4x+2)\;$

3d) $(x^2+6x-5)(x^2+6x-5)\;$

Ejercicio 3 (18'11") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados y cubos:

6a) $(x+y+z)^2\;$

6b) $(x+y+1)^2\;$

6c) $(x-y-1)^2\;$

6d) $(x-y+z+1)^2\;$

6e) $(x-2y+z-1)^2\;$

6f) $(x+3y+z+3)^2\;$

6g) $(x+a)^3\;$

6h) $(2x+1)^3\;$

6i) $(3x+2)^3\;$

6j) $(x-1)^3\;$

6k) $(x-2)^3\;$

6l) $(2x-4)^3\;$

Ejercicios (para ampliar)

Ejercicio 1 (8'42") Sinopsis:

a) Sabiendo que $a+b=5\;$ y que $a \cdot b = 7\;$ , halla $a^2+b^2\;$ .

b) Sabiendo que $\left(a+\cfrac{1}{a}\right)^2=3\;$ , halla $a^3+\cfrac{1}{a^3}\;$ .

Ejercicio 2 (10'41") Sinopsis:

a) Efectúa: $30001^2-30000^2\;$ .

b) Halla la sexta potencia de $\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$ .

c) Sabiendo que $a+b=\sqrt{5}\;$ y que $a \cdot b = 3\;$ , halla $(a-b)^2\;$ .

Ejercicio 3 (5'29") Sinopsis:

a) Reducir: $\cfrac{(3x+4y)^2-(3x-4y)^2}{xy}$ .

b) Efectúa: $(a+2)(a-2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)+64\;$ .

Ejercicio 4 (6'16") Sinopsis:

Halla: $P=\cfrac{(3y)^2}{x^2}+\cfrac{y^3}{x^3}+\cfrac{2x}{y}$ , sabiendo que $\cfrac{yx}{2xy-(x+y)^2}=-\cfrac{1}{2}$ .

Ejercicio 5 (10'54") Sinopsis:

a) Sabiendo que $a+b=6\;$ y que $a^2+b^2 = 30\;$ , halla $R=\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{a}\;$ .

b) Si $(a+b+c+d)^2=4(a+b)(c+d)\;$ , calcula $\sqrt[2(a+b)]{4^{c+d}}$

Ejercicio 6 (5'38") Sinopsis:

Hallar $M=a^3+\cfrac{1}{a^3}\;$ sabiendo que $a^2-3a+1=0\;$ .

Productos notables

Actividad: Productos notables

Calcula:

a) $(3x+5)^2 \;\!$

b) $(x-2)(x+2) \;\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) expand (3x+5)^2

b) expand (x-2)*(x+2)

Sacar factor común

Otra herramienta básica para la descomposición y simplificación de expresiones algebraicas es la de sacar factor común. La idea es transformar una expresión compleja en un producto de expresiones más sencillas.

Sacar factor común en una expresión algebraica con varios sumandos, consiste en encontrar una parte común a todos esos sumandos y aplicar la propiedad distributiva para poner la expresión algebraica como producto de esa parte común y una serie de sumandos entre paréntesis.

Ejemplo: Sacar factor común

Saca factor común en la expresión $16xyz-24xz+4x\;\!$

Solución:

El factor común, que se repite en los tres sumandos, es $4x\,\!$ . Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común $4x\,\!$ , dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso:

$16xyz-24xz+4x\;\!=$

$(4x) \cdot 4yz - (4x) \cdot 6z + (4x) \cdot 1=\;\!$

$4x \cdot (4yz-6z+1)$

Sacar factor común

Tutorial 1 (9'36") Sinopsis:

Cómo se saca factor común. Ejemplos

Tutorial 2 (28'00") Sinopsis:

En este tutorial se explica la extracción de factor común en expresiones algrebraicas, el caso más sencillo de factorización de polinomios.
(4:40) La propiedad distributiva. Demostración geométrica.

Tutorial 3 (8'54") Sinopsis:

Sacara factor común.

Ejercicio 1 (6'09") Sinopsis:

Saca factor común:

a) $3x+3y\;$

b) $10a-15b\;$

c) $4pq-8pr+12pt\;$

d) $x(a+1)-t(a+1)+5(a+1)\;$

Ejercicio 2 (22'35") Sinopsis:

Saca factor común:

a) $8a-4b+16c+12d\;$

b) $7x^2+11x^3-4x^5+3x^4-x^8\;$

c) $9x^3-6x^2+12x^5-16x^7\;$

d) $\frac{4}{3}x-\frac{8}{9}x^3+\frac{16}{15}x^7-\frac{2}{3}x^5\;$

e) $9x^2ab-3xa^2b^3+x^2az\;$

f) $3(x+1)-5x(x+1)+x^2(x+1)\;$

Ejercicio 3a (7'18") Sinopsis:

Saca factor común:

a) $ax+bx\;$

b) $9x^3-24x^2\;$

c) $2x^2y+6xy^2-8x^2y^2\;$

d) $3x^2y-3x^2z+3x^2\;$

Ejercicio 3b (9'27") Sinopsis:

Saca factor común:

a) $2(a+b)+x(a+b)\;$

b) $(x+y)a-(x+y)b-x-y\;$

c) $ax-bx+cx+ay-by+cy-a+b-c\;$

Ejercicio 5 (5'23") Sinopsis:

Saca factor común:

$6a^4b^3c^2+15a^3b^2-21a^2b\;$

Ejercicio 4a (3'15") Sinopsis:

Saca factor común:

$18x^5+30x^4\;$

Ejercicio 4b (3'02") Sinopsis:

Saca factor común:

$4x^4-8x^3+12x^2\;$

Ejercicio 4c (4'47") Sinopsis:

Saca factor común:

$16x^3y^2-8x^4y-8x^2y-40x^2y^3\;$

Ejercicio 4d (2'16") Sinopsis:

Saca factor común:

$x^3+x^2y^2-x^5y^2\;$

Ejercicio 4e (3'18") Sinopsis:

Saca factor común:

$m^3n^3-m^4n^2p+m^5n^4p^2+m^3n^2p^2\;$

Ejercicio 4f (4'17") Sinopsis:

Saca factor común:

$4x^2y-12x^2y^3+16x^5yz\;$

Ejercicio 5a (4'44") Sinopsis:

Saca factor común:

a) $4x+18\;$

b) $12+32y\;$

Ejercicio 5b (4'44") Sinopsis:

Saca factor común:

$8x^2y+12xy^2\;$

Ejercicio 5c (5'05") Sinopsis:

Saca factor común:

$4x^4y-8x^3y-2x^2\;$

Ejercicio 5d (6'24") Sinopsis:

El área de un rectángulo es de $12x^4+6x^3+15x^2\;$ y su largo es el m.c.d. de cada uno de los sumandos del anterior polinomio. Calcula las dimensiones del rectángulo.

Ejercicio 5e (1'51") Sinopsis:

Saca factor común:

$n(n-1)+3(n-1)\;$

Ejercicio 5f (4'40") Sinopsis:

Sabiendo que $a+b+c=7\;$ , calcula $5a+5b+5c\;$ .
Sabiendo que $a+b+c=-1\;$ y que $x+y=7\;$ , calcula $-9-7x-9c-9b-7y\;$ .

Ejercicio 5g (3'01") Sinopsis:

Sabiendo que $3x+3y+3z=1\;$ , calcula $12x+12y+12z\;$ .
Sabiendo que $3a+5b=2\;$ , calcula $15a+15b\;$ .

Sacar factor común

Actividad 1 Descripción:

Actividades para aprender y practicar cómo se saca factor común.

Actividad 2 Descripción:

Factorizar polinomios sacando factor común.

Autoevaluación 1 Descripción:

Factorizar polinomios sacando factor común.

Autoevaluación 2 Descripción:

Evalúa expresiones usando la estructura.

Sacar factor común por agrupación de términos

Ejercicio 1 (2'41") Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

$a^3+a^2+a+1\;$

Ejercicios 2 (7'08") Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

a) $px+mx+py+my\;$

b) $2ac-5bd-2a+2ad+5b-5bc\;$

Ejercicios 3 (12'37") Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

a) $xz+yz+x+y\;$

b) $ab+bx-ay-xy\;$

c) $x^{n+2}+x^3+x^n+x+x^2+1\;$

Ejercicio 4 (3'20") Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

$xy+xz+my+mz\;$

Ejercicio 5 (3'31") Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

$ac-bc+ad-bd\;$

Ejercicio 6 (5'14") Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

$4xy+8xm+3yz+6mz\;$

Ejercicio 7 (3'40") Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

$m^2+mn+mx+nx\;$

Ejercicio 8 (3'37") Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

$am+2bm+3an+6bn\;$

Ejercicio 9 (6'02") Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

$4a^2x-5a^2y+15by-12bx\;$

Sacar factor común

Actividad: Sacar factor común

Saca factor común:

a) $3x^2yz-6xy^2z+9xyz\!$

b) $12ab^5-6a^4b^3\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) factor 3x^2*y*z-6x*y^2*z+9x*y*z b) factor 12a*b^5-6a^4*b^3

Ejercicios: Sacar factor común

1. Extrae factor común:

a) $-18a+20a-10a\,\!$ b) $15x-60x^2\,\!$ c) $5ba^2-3ab+2ba^3\;\!$

Solución:

a) $-8a\,\!$ b) $15x \cdot (1-4x)\,\!$ c) $ab \cdot (5a-3+2a^2)$

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Monomios

(Pág. 87)

6; 7

(Pág. 88-89)

1; 3; 4; 5; 7a,c,f;

2; 6; 7b,d,e; 8;

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Categorías: Matemáticas | Álgebra

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