Ecuaciones con dos incógnitas (3ºESO Académicas)

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1 Ecuación de primer grado con dos incógnitas

(Pág. 124)

Ecuación de primer grado con dos incógnitas

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas o ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación polinómica de primer grado con dos incógnitas. Por tanto, se puede expresar de la siguiente forma general:

$ax+by=c\;\!$

donde $x\;\!$ e $y\;\!$ son variables (incógnitas) y $a,\, b\;\!$ y $c\;\!$ constantes (números reales).

Ejemplos:

$x-2y=1\;\!$ (es de primer grado con 2 incógnitas)
$xy-2x=1\;\!$ (no es de primer grado, aunque si tiene dos incógnitas)

Soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas

Las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas $ax+by=c\;$ son las parejas de valores $(x,y)\;$ que hacen que se cumpla la igualdad.

Ejemplo

La pareja de valores (2,1) es una solución de la ecuación $x+3y=5\;$ porque si $x=2\;$ e $y=1\;$ , entonces $2+3 \cdot 1 =5\;$ .

Proposición

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas $ax+by=c\;\!$ tiene infinitas soluciones.

Para cada valor que le asignemos a la variable $x\;\!$ , podemos encontrar un valor de la variable $y\;\!$ , despejándola en la anterior ecuación, como se muestra a continuación:

$y=\cfrac{c-ax}{b}$

Ejemplo

La ecuación $2x+y=5\;$ tiene infinitas soluciones que se pueden obtener dando valores a la variable $x\;$ y despejando la variable $y\;$ :

Si $x=1\;$ , entonces $2 \cdot 1 + y = 5 \rightarrow y=5-2 \rightarrow y=3 \rightarrow (1,3)$
Si $x=0\;$ , entonces $2 \cdot 0 + y = 5 \rightarrow y=5-0 \rightarrow y=5 \rightarrow (0,5)$

También podemos hallar el valor de $x\;$ a partir de cualquier valor de $y\;$ dado. En este caso habrá´que despejar la $x\;$ :

Si $y=7\;$ , entonces $2 \cdot x + 7 = 5 \rightarrow 2x=5-7 \rightarrow x=-1 \rightarrow (-1,7)$

...

Soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

Ejercicio 1 (1'47") Sinopsis:

Dada la ecuación -3x - y = 6, indica cuáles de los siguientes pares son solución de ella: (-4,4) y (-3,3).

Ejercicio 2 (2'20") Sinopsis:

Dada la ecuación 4x - 1 = 3y + 5, indica cuáles de los siguientes pares son solución de ella: (3,2) y (2,3).

Soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

Autoevaluación 1 Descripción:

Soluciones de ecuaciones lineales de dos variables.

Autoevaluación 2 Descripción:

Completa soluciones de ecuaciones lineales de dos variables.

Representación gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

Proposición

Las parejas de soluciones $(x,y)\;\!$ de una ecuación lineal con dos incógnitas, representadas como puntos en un sistema de ejes cartesianos, forman una recta.

El punto de corte con el eje de abscisas (OX), que se obtiene para $y=0\;$ , recibe el nombre de abscisa en el origen.
El punto de corte con el eje de ordenadas (OY), que se obtiene para $x=0\;$ , recibe el nombre de ordenada en el origen.

Ejemplo: Representación gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

Halla y representa las soluciones de la ecuación:

$2x+3y=4\;\!$

Solución:

Despejamos la variable y:

$y=\cfrac{4-2x}{3}$

Construimos una tabla de valores, dandole valores a $x\;\!$ y calculando $y\;\!$ en la expresión anterior:

x	-1	2	5	...
y	2	0	-2	...

Las soluciones vienen dadas por las parejas $(x,y)\;\!$ así obtenidas:

$(-1,2),\ (2,0),\ (5,-2),...$

Si representamos estas soluciones como puntos de unos ejes de coordenadas, comprobaremos que se encuentran situados en una línea recta, como puedes ver en la siguiente escena.

Comprueba que los puntos solución se encuentran en la recta azul. Para ello deberás introducir el valor de $x\;\!$ en el cuadro inferior y pulsar "Intro":

Click aquí si no se ve bien la escena

Calcula algunas soluciones más y compruébalas en la escena anterior.

Concluyendo: Las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas son infinitas y los puntos que se obtienen con sus coordenadas, están situados en una recta.

Ecuación lineal con dos incógnitas. Representación gráfica.

Tutorial 1 (6'00") Sinopsis:

Descartes: Un puente entre el álgebra y la geometría.

Tutorial 2 (9'03") Sinopsis:

Ecuación lineal. Representación gráfica.

Tutorial 3 (6'00") Sinopsis:

Una ecuación (lineal o no) con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. En términos geométricos, si la ecuación es lineal, las infinitas soluciones corresponden a los infinitos puntos de una recta.

Ejercicio 1a (9'15") Sinopsis:

Dada la ecuación 2x + 3y = 5x - y, completa la tabla que aparee en el video y utiliza los resultados para representar gráficamente las soluciones.

Ejercicio 1b (9'09") Sinopsis:

Representa las soluciones de la ecuación lineal y = 2x - 3.

Ejercicio 2a (10'35") Sinopsis:

Representa las soluciones de 2x + 3y = 6.

Ejercicio 2b (4'49") Sinopsis:

Halla, en cada caso, el valor de "k" de modo que el par ordenado sea solución de 2x-y=3.

1. $(6,k)\;$ 2. $(4k,5k)\;$ 3. $(2,k^2)\;$ 4. $(k^2,-5)\;$ 5. $(1+k,1-k)\;$

Intersección con los ejes coordenados

Ejercicio 1a (8'20") Sinopsis:

Representa y halla los puntos de corte con los ejes de las gráficas de las ecuaciones:

a) $y=\cfrac{1}{2}x-3\;$

b) $5x+6y=30\;$

Ejercicio 1b (1'24") Sinopsis:

Halla la intersección con el eje X de la gráfica de la ecuación $2y + 3x = 7\;$

Ejercicio 1c (2'04") Sinopsis:

Halla las intersecciones con los ejes de la gráfica de la ecuación $-5x+4y = 20\;$ y utiliza la información para representar la gráfica de la ecuación.