Función cuadrática (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Función cuadrática
2 Representación gráfica de la función cuadrática
3 Ejercicios propuestos

(Pág. 171)

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella cuya expresión analítica es o puede ponerse como una ecuación polinómica de segundo grado:

$y=ax^2+bx+c \;$

con $a \ne 0$ .

Representación gráfica de la función cuadrática

Vamos a empezar con un ejemplo sencillo que nos permita una primera aproximación a la representación gráfica de este tipo de funciones:

Ejemplo: La función cuadrática tipo

Representa la función cuadrática más sencilla de todas, la llamada función cuadrática tipo, cuya ecuación es:

$y=x^2\;$

Solución:

Haremos una tabla de valores y, a partir de ella, dibujaremos su gráfica:

Los valores de esta tabla los representamos en unos ejes cartesianos a una escala adecuada. (Son los puntos rojos de la imagen de la derecha).

La gráfica obtenida recibe el nombre de parábola.

Fíjate como su gráfica es simétrica.

El eje de simetría (en verde) divide a la parábola en dos ramas simétricas.

El eje corta a la parábola en un punto llamado vértice (V en el dibujo).

La gráfica de cualquier otra función cuadrática tiene un aspecto muy parecido al de la "función cuadrática tipo" que acabamos de representar.

Propiedades

La representación gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola y tiene las siguientes propiedades:

La parábola es simétrica respecto de un eje paralelo al eje Y, que llamaremos eje de la parábola.
El eje de la parábola corta a la parábola por un punto llamado vértice. La abscisa del vértice es $x=-\cfrac{b}{2a}$ .
El eje de la parábola la divide en dos partes denominadas ramas.
- Si $a>0\;$ , la parábola tiene las ramas hacia arriba.
- Si $a<0\;$ , la parábola tiene las ramas hacia abajo.
Cuanto mayor es $|a|\;$ , más estilizada es la parábola.
Dos parábolas con el mismo coeficiente $a\;$ , tienen formas idénticas aunque están situadas en posiciones distintas.
Puntos de corte con los ejes:
- Eje Y: En el punto $(0,c)\;$
- Eje X: En los puntos (x,0), donde x se obtiene resolviendo la ecuación $ax^2+bx+c=0\;$ . Pueden ser 0,1 ó 2 puntos.

Ejemplo: Representación gráfica de la función cuadrática

Representa $y = x^2-3x-4\;$ .

Solución:

Vértice:

$x_v=-\cfrac{b}{2a}=\cfrac{3}{2} \ \rightarrow \ y_v=\left( \cfrac{3}{2} \right )^2-3 \cdot \cfrac{3}{2} -4 = -\cfrac{25}{4} \ \rightarrow \ V=\left( \cfrac{3}{2} \, ,-\cfrac{25}{4} \right )$

Puntos de corte con los ejes:

Eje Y: $(0,-4)\;$

Eje X: Resolvemos la ecuación $x^2-3x-4=0 \ \rightarrow \ x=\cfrac{3 \pm \sqrt{9+16}}{2} \ \rightarrow \ x_1=-1 \, , x_2=4 \ \rightarrow \ (-1,0) \ y \ (4,0)$