Las cónicas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Secciones cónicas
2 Las cónicas como lugares geométricos
3 Ecuaciones de las cónicas
4 Excentricidad de una cónica

Secciones cónicas

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.

Según como corte el plano al cono tendremos (ver figura):

Hipérbola: el plano forma con la base un ángulo mayor que el que forma la generatriz.
Parábola: el plano es paralelo a la generatriz.
Elipse: el plano forma con la base un ángulo menor que el que forma la generatriz.
Circunferencia: el plano es paralelo a la base.

La primera definición de sección cónica aparece en Grecia, cerca del año 350, donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Pérgamo.

A continuación vamos a ver definir las secciones cónicas como lugares geométricos de puntos del plano.

Secciones cónicas: Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Pérgamo.

Las cónicas como lugares geométricos

Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ , del plano, cuya distancia al centro es $r\,$ .

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,O)=r \big \}$

Trazado de la circunferencia Descripción:

En esta escena podrás ver como se dibuja una circunferencia.

Circunferencia de centro O y radio r.

Par más detalles consulta el tema de la circunferencia.

Elipse

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la elipse ( $k > d(F,F')\,$ ), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a $k\,$ :

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)+d(P,F')=k \big \}$

Trazado de la elipse Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una elipse.

Trazado de la elipse

Par más detalles consulta el tema de la elipse.

Hipérbola

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la hipérbola ( $k < d(F,F')\,$ ), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a $k\,$ :

$\big \{P(x,y) \, / \; |d(P,F)-d(P,F')|=k \big \}$

Trazado de la hipérbola Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una hipérbola.

Hipérbola

Par más detalles consulta el tema de la hipérbola.

Parábola

Dados un punto $F\,$ llamado foco, y una recta $d\,$ , llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano que equidistán del foco y de la directriz:

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)=d(P,d) \big \}$

Trazado de la parábola Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una parábola.

Parábola:

d (P i, F) = d (P i, Q i)

Par más detalles consulta el tema de la parábola.

Ecuaciones de las cónicas

Proposición

A partir de las ecuaciones de los lugares geométricos anteriormente vistos, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \,$

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

Hipérbola: si $h^2>ab\,$
Parábola: si $h^2=ab\,$
Elipse: si $h^2<ab\,$
Circunferencia: si $h=0\,$ y $a=b\,$

Excentricidad de una cónica

La excentricidad, $e\,$ , de una cónica es un parámetro que determina el grado de desviación de la cónica con respecto a una circunferencia.

Valores de la excentricidad de las cónicas:

Circunferencia: $e=0\,$ .
Elipse: $0<e<1\,$ .
Parábola: $e=1\,$ .
Hipérbola: $e>1\,$ .

El por qué de estos valores se estudiará en el apartado correspondiente a cada cónica.

Las órbitas de los planetas y de los cometas:

Los planetas tienen órbitas elípticas, siendo uno de sus focos el Sol, con excentricidad casi nula (muy parecidas a una circunferencia). La excentricidad de la tierra es 0,017.
Las órbitas de los cometas son elípticas, muy excéntricas (muy alargadas), algunas incluso son parabólicas e hiperbólicas.
- Los cometas de órbitas parabólicas y más los de órbitas hiperbólicas, debemos considerarlos como astros sólo visibles una vez, a menos que durante su trayecto por el interior del sistema Solar pasen por la proximidad de un astro de gran masa, como Júpiter, y que, por efecto de su gran fuerza atractiva, o capture, transformando su primitiva órbita abierta en una elipse y, por lo tanto, obligándole a dar vueltas alrededor del Sol.
- La sección cónica que exhibe una órbita depende de su energía total. Si la energía total del sistema es negativa, entonces la órbita es ligada y asumirá una conformación elíptica. Ahora, si es exactamente igual a cero, la órbita será desligada y tendrá una forma parabólica. Si la energía es positiva, la órbita será también desligada y seguirá una hipérbola.