Plantilla:Esfera
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![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás calcular el volumen y área de un balón de futbol.
Teorema
El volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circunscrito a ella.
El cálculo del volumen de la esfera fue uno de los descubrimientos que Arquímedes más estimaba de todos los que hizo en su vida. Llegó a demostrar de un modo muy original que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella. Tanto le impresionó esto a él mismo que mandó que en su tumba se grabase esta figura en recuerdo de la mejor de sus ideas.
Vamos a ver cómo llegó hasta ahí. Arquímedes se imaginó una semiesfera y junto a ella un cilindro circular recto y un cono recto, ambos de base igual a un círculo máximo de la semiesfera:
Arquímedes cortó las tres figuras por un plano paralelo a la base del cilindro y cono y se preguntó cómo serían las secciones determinadas por este plano en cilindro, semiesfera y cono. En el cilindro es un círculo de radio R. En la esfera también será un círculo, pero su radio dependerá de la distancia d. Mirando la figura y acordándote del teorema de Pitágoras, fácilmente puedes escribir que si el radio de la sección es r, entonces
![r^2+d^2=R^2\;](/wikipedia/images/math/3/a/6/3a69266b7117efd30460fb62b1be4e27.png)
En el cono la sección también será un círculo y ahora el radio es aún más fácil de determinar (como el radio de apertura del cono es de 45º, resulta que el radio es d).
![Secci\acute{o}n\,_{Cilindro}=\pi R^2=\pi (r^2+d^2)=\pi r^2 + \pi d^2 = Secci\acute{o}n\,_{Esfera}+Secci\acute{o}n\,_{Cono}\;](/wikipedia/images/math/3/2/5/325cca972e2c4ffd83f0db85cb49a1b2.png)
Las secciones son como rebanadas de las tres figuras obtenidas cortando paralelamente a la base del cilindro. Resulta que, colocando las tres figuras como las hemos puesto y cortándolas en rebanadas finas
Si para cada altura se tiene esta relación, parece bastante claro que:
![V_{cilindro} = V_{semiesfera} + V_{cono}\;](/wikipedia/images/math/d/1/b/d1bb9222acd41a1039da2e26eb64ca25.png)
Pero como:
![V_{cilindro} = \pi R^3 \qquad y \qquad V_{cono}= \cfrac{1}{3} \pi R^3](/wikipedia/images/math/f/d/0/fd024745682c19b4785b15086d8e9769.png)
resulta:
![V_{semiesfera} = \cfrac{2}{3} \pi R^3 \ \rightarrow \ V_{esfera} = \cfrac{4}{3} \pi R^3](/wikipedia/images/math/8/b/2/8b23314647a886a8a02839ef5bbe554f.png)
En esta escena podrás comprobar la relación que existe entre los volúmenes de la esfera, el cono y el cilindro.