Divisibilidad

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Indice Descartes Manual Casio	Divisibilidad		WIRIS Geogebra Calculadora Divisibilidad m.c.m. m.c.d. Números especiales Números primos Números compuestos Aritmética modular Factorización

Tabla de contenidos

1 Múltiplos y divisores
- 1.1 Propiedades
2 Criterios de divisibilidad
3 Números compuestos y números primos
4 Máximo común divisor
- 4.1 Propiedad
- 4.2 Números primos entre sí
5 Mínimo común múltiplo
- 5.1 Propiedades
6 Ejercicios y problemas
- 6.1 Ejercicios
- 6.2 Problemas
7 Calculadora

Múltiplos y divisores

$a\;\!$ es multiplo de $b\;\!$ , y escribiremos $a= \dot b$ , si existe un número natural $n\;\!$ tal que $a=b \cdot n$ . En tal caso, $b\;\!$ es divisor de $a\;\!$ y escribiremos $b|a. \;\!$

Por ejemplo, 12 es múltiplo de 4 $(12= \dot 4)$ porque $12=4 \cdot 3$ . Por tanto, 4 es divisor de 12 $(4|12 \;\!)$ .

Actividades Interactivas - Múltiplos y divisores

Propiedades

Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
Todo número natural tiene infinitos múltiplos, que se obtienen multiplicándolo por un número natural cualquiera.
El 0 es múltiplo de cualquier número.
Todo número natural tiene, al menos, dos divisores: 1 y él mismo.

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por:	Criterio
2	El número acaba en 0 ó cifra par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.
8	El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.
11	Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

Actividad Interactiva - Múltiplos de un número

Múltiplos de un número

Números compuestos y números primos

Un número natural es compuesto si se puede expresar como producto de otros dos números naturales distintos de él y la unidad. En caso contrario es un número primo.

Por ejemplo, 15 es compuesto porque $15=3 \cdot 5$ . Sin embargo, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos.

Propiedad: Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo.

Números primos menores que 100

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar números primos que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

Actividades Interactivas - Criba de Eratóstenes

Criba de Eratóstenes

Cómo averiguar si un número es primo

Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).

Ejemplo: Averiguar si un número es primo

Averigua si el número 167 es primo.

Solución:

Efectuamos las siguientes divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que sea divisible o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir:

Dividimos 167 entre 2: cociente=83 y resto=1. No es divisible por 2.

Dividimos 167 entre 3 porque 83>3: cociente=55 y resto=2. No es divisible por 3.

Dividimos 167 entre 5 porque 55>5: cociente=33 y resto=2. No es divisible por 5.

Dividimos 167 entre 7 porque 33>7: cociente=23 y resto=6. No es divisible por 7.

Dividimos 167 entre 11 porque 23>11: cociente=15 y resto=2. No es divisible por 11.

Dividimos 167 entre 13 porque 15>13: cociente=12 y resto=11. No es divisible por 13.

Paramos y no dividimos 167 entre 17 porque 12<17.

Por tanto, 167 es primo.

Actividades Interactivas - ¿Primo o compuesto?

Descubre si un número es primo o compuesto

Descomposición factorial de un número

Cualquier número podemos expresarlo como producto de potencias de números primos. A esto se le llama descomposición factorial de un número.

Ejemplo: Descompoción en factores primos

Halla la descomposición factorial de 90.

Solución:

Dividimos 90 entre el primer número primo por el que sea divisible. En este caso, por 2.

90:2=45

A continuación, procedemos a dividir 45, cociente de la anterior división, de igual forma.

45:3=15

Así sucesivamente hasta obtener 1 en el cociente

15:3=5

5:5=1

Los cocientes 2, 3, 3 y 5 son los factores que descomponen a 90.

$\left . \begin{matrix} 90 \\ 45 \\ 15 \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right |\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 5 \\ \; \end{matrix} \qquad 90=2 \cdot3^2 \cdot 5$

Actividad Interactiva - Descomposición factorial

Descomposición factorial de un número

Obtención de los divisores de un número

Para obtener los divisores de un número podemos proceder siguiendo uno de los dos métodos que ilustramos con el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Obtener los divisores de un número

Obtén los divisores de 90.

Solución:

Método 1: Descomponemos 90 en factores primos:

$90=2 \cdot3^2 \cdot 5$

Construimos una tabla para formar las posibles combinaciones de productos de factores.

Cada casilla de la tabla contiene un divisor: 1, 3, 9, 2, 6, 18, 5, 15, 45, 10, 30 y 90.

Método 2: Dividimos 90 por su primer divisor:

90:1=90. Ya tenemos dos divisores: 1 y 90.

Dividimos 90 por el siguiente divisor:

90:2=45. Ya tenemos otros dos: 2 y 45.

Proseguimos de igual forma:

90:3=30. Obtenemos 3 y 30.

90:5=18. Obtenemos 5 y 18.

90:6=15. Obtenemos 6 y 15.

90:9=10. Obtenemos 9 y 10.

Paramos porque el siguiente divisor es 10, que ya se ha obtenido.

Actividad Interactiva - Divisores de un número

Divisores de un número

Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes elevados al menor exponente.

Ejemplo: m.c.d.

Calcula el m.c.d.(24,60).

Solución:

Descomponemos 24 y 60 en sus factores primos:

$24=2^3 \cdot 3\qquad60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente:

$m.c.d.(24,60)= 2^2 \cdot 3=12$

Actividad Interactiva - m.c.d.

m.c.d. de dos números

Propiedad

Si a es múltiplo de b, entonces m.c.d.(a,b)=b.

Por ejemplo, m.c.d.(15, 30)=15.

Números primos entre sí

Dos números son primos entre sí, si su m.c.d. es 1.

Por ejemplo, 6 y 11 son primos entre sí.

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman todos los factores elevados al mayor exponente.

Ejemplo: m.c.m.

Calcula el m.c.m.(24,60).

Solución:

Descomponemos 24 y 60 en sus factores primos:

$24=2^3 \cdot 3\qquad60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Multiplicando todos los factores elevados al mayor exponente:

$m.c.m.(24,60)= 2^3 \cdot 3 \cdot 5=120$