Sucesos aleatorios (3ºESO)
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Tabla de contenidos |
Fenómeno o experimentos aleatorio
- Un fenómeno o experimento aleatorio es aquel en el que no se puede preveer, con certeza, el resultado que va tener lugar al observar el fenómeno o al realizar el experimento. El resultado depende del azar.
- En caso contrario, se dirá que el fenómeno o experimento es determinista.
- Al lanzar una moneda al aire, no sabemos si va a salir cara o cruz. Por tanto, se trata de un experimento aleatorio en el que los posibles resultados son "salir cara" o "salir cruz".
- Si nos preguntamos si lloverá mañana, caben dos posibilidades: "si" o "no", y no sabemos con certeza que ocurrirá. Es un fenómeno aleatorio.
- Si metemos un agua en un congelador a -20ºC, ésta se congela. Se trata de un experimento determinista.
Espacio muestral
Llamaremos espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados o casos de un experimento aleatorio. Lo denotamos con la letra , o bien,
.
Ejemplos: Espacio muestral
a) ¿Cuáles son los casos y el espacio muestral asociado al experimento de "lanzar una moneda"?
b) ¿Cuál es el espacio muestral asociado al experimento de "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos"?
Solución a):
Los casos del experimento aleatorio "lanzar una moneda" son "salir cara" (C) y "salir cruz" (X).
Por tanto, el espacio muestral es
![E = \left\{ \, C, \, X\right\}](/wikipedia/images/math/8/a/3/8a35d186af7316f5afe8e23379842789.png)
Solución b):
El espacio muestral asociado al experimento de "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos" es:
![E = \left\{ \, 2, \, 3, \, 4 , \, 5, \, 6 , \, 7, \, 8, \, 9, \, 10, \, 11, \, 12 \, \right\}](/wikipedia/images/math/a/d/1/ad157c584bf19ca8bc98dccf4c1dc268.png)
Actividades en las que podrás aprender técnicas de recuento para determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio.
Ejercicios: Espacio muestral Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar tres monedas. b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos. Ayúdate de la siguiente escena con la que podrás construir el diagrama de árbol correspondiente: Escena que te permite construir diagramas de árbol. Solución: Solución: a) Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral: E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)} b) E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} c) Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos: E={BB,BN,NN} d) Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral: E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)} |
Sucesos
- Llamaremos suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral
. Para designar cualquier suceso utilizaremos letras mayúsculas.
- Al conjunto de todos los sucesos que pueden tener lugar en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por
.
Actividades en las que podrás aprender los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral y suceso aleatorio.
Proposición
Si el cardinal de es un número finito,
, entonces el cardinal de
es
Demostración:
Como E tienen n elementos, y cada uno de ellos tiene 2 posibilidades ("estar" o "no estar" en un subconjunto de E) entonces los casos posibles son![2^n\;](/wikipedia/images/math/9/e/4/9e4c74c057e42e05f046ba101b7ea2b1.png)
Ejemplo: Sucesos
En el experimento "lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos", determina los siguientes sucesos del espacio muestral:
a) Salir múltiplo de 5. b) Salir número primo. c) Salir mayor o igual que 10.
Solución:
a) Salir múltiplo de 5:
b) Salir número primo:
c) Salir mayor o igual que 10:
Tipos de sucesos
Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.
- Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado o caso del experimento.
- Sucesos compuestos son los que estan formados por más de un resultado o caso del experimento, es decir, por más de un suceso elementale.
- Suceso seguro es el que ocurre siempre que se realice el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.
- Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por
.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Sucesos aleatorios. Tipos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Sucesos aleatorios. Tipos.
Operaciones con sucesos. Sucesos compatibles e incompatibles
- Unión de sucesos: La unión de dos sucesos
y
está formada por aquellos sucesos elementales que pertenecen al conjuto
o al conjunto
(se juntan los elementos de
y de
). Se representa
.
- Intersección de sucesos: La intersección de dos sucesos
y
está formada por aquellos sucesos elementales que pertenecen al conjuto
y al conjunto B (los elementos comunes de
y
). Se representa
.
- Dos sucesos son incompatibles cuando no tienen ningún suceso elemental en común, es decir, cuando
. En caso contrario diremos que son compatibles.
- Suceso contrario o complementario de un suceso
es el formado por los sucesos elementales del espacio muestral que no están en
. Se representa por
.
Ejemplo: Operaciones con sucesos
En el experimento "lanzar un dado", se consideran los sucesos siguientes:
- A = Obtener un número menor que 4 = {1, 2, 3}
- B = Obtener un número impar = {1, 3, 5}
Calcula:
- a)
b)
c)
d)
Solución:
a)
b)
c)
![\overline{B}=\{ 2, 4, 6 \}](/wikipedia/images/math/e/3/0/e30849162cbd87e3f4da3cec8ae69039.png)
Actividades en las que podrás aprender las operaciones con sucesos.
Actividades en las que podrás aprender las propiedades de las operaciones con sucesos.
Actividades y videotutoriales
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
- Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos
- Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
La primera parte de este videotutorial de 33'20" dura 13'37" y trata sobre:
- 00:00 a 07:35: Introducción general: Experimento aleatorio, espacio muestra y sucesos.
- 07:35 a 13:35: Ejemplos de espacios muestrales y tipos de sucesos.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Ejercicio 1: En el experimento de lanzar un dado de 6 caras, calcula:
a) Espacio muestral.
b) Sucesos elementales.
c) Suceso A, "sacar un número par".
d) Suceso B, "sacar un múltiplo de 3".
e) Suceso contrario de A.
f) Suceso seguro, C y un suceso imposible, D.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Ejercicio 2: En el experimento de lanzar un dado de 6 caras, se consideran los sucesos:
- A = Sacar número par.
- B = Sacar número múltiplo de 3.
a) Halla .
b) Halla .
c) ¿Son A y B incompatibles?