Expresión decimal de los números reales. Aproximaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Aproximaciones
- 1.1 Redondeo
- 1.2 Truncamiento
2 Errores
- 2.1 Error absoluto
- 2.2 Error relativo
3 Cota del error
4 Notación científica
- 4.1 La notación científica en la calculadora
5 Ejercicios propuestos

(pág. 40)

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Aproximaciones

En la vida real suelen presentarse situaciones en las que no se puede, o no interesa realizar cálculos con valores exactos, bien porque éstos no se conocen, bien por que la información que ofrece el resultado exacto es irrelevante. En estas situaciones se recurre al cálculo con aproximaciones.

Así, cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Entonces, lo solemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras. Por ejemplo, al escribir el número $3\sqrt2$ queda reflejado con total precisión de qué número estamos hablando. Este número, tan sencillo de expresar con radicales, tiene, sin embargo, una expresión decimal que consta de infinitas cifras (4.2426406871192851464050661726291...). En la práctica, muchas veces es preferida la expresión decimal aproximada, con una cantidad reducida de cifras decimales (4.24), aunque ésta sea imprecisa, porque resulta más fácil captar su valor que expresándolo con radicales.

Otras veces, cuando hacemos una medición, el aparato de medida tiene limitaciones en cuanto a la precisión, por lo que la medida real no es posible averiguarla con exactitud y es sustituida por otra aproximada, más sencilla.

Una aproximación de un número es una representación inexacta de dicho número que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil.
Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman cifras significativas. A veces modificamos la última cifra con la que nos quedamos, dependiendo del tipo de aproximación que hagamos.
Llamamos orden de la aproximación, a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas.
Se puede aproximar por defecto si el número utilizado es menor que el de partida, o por exceso si el número utilizado es mayor que el de partida.

Cifras significativas (12'17") Sinopsis:

Cifras significativas. Ejemplos.

Ejemplo: Aproximaciones

Aproxima por defecto y por exceso los siguientes números e indica el orden de la aproximación:

a) 263825 con 2 cifras significativas.

b) 6035192 con 1 cifra significativa.

c) 60.35 con 3 cifras significativas.

Solución:

   Número         Aproximación        Aproximación       Nº cifras          Orden de la
 de partida       por defecto          por exceso      significativas       aproximación
 ------------     ------------      --------------     --------------    -------------------
    263825    --->    260000   --->      270000    --->       2      ---> Decenas de millar
   6035192    --->   6000000   --->     7000000    --->       1      ---> Unidades de millón
        60.35 --->        60.3 --->          60.4  --->       3      ---> Décimas

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Redondeo

El redondeo es una forma de aproximar números. Para redondear un número a un determinado orden de unidades hay que:

Sustituir por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.
Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior.

Ejemplo: Redondeo

Redondea los siguientes números:

a) 27640.342 a la centena.

b) 3857.567 a la décima.

c) 24572.2578 a la unidad de millar.

Solución:

a) 27600 ; b) 3857.6 ; c) 25000

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Truncamiento

El truncamiento es una forma de aproximar números. Para truncar un número a un determinado orden de unidades se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.

Ejemplo: Truncamiento

Trunca los siguientes números :

a) 27630.24578 a la milésima.

b) 3851.34 a la unidad.

c) 12345621.2 a la decena de millar.

Solución:

a) 27630.245 ; b) 3851 ; c) 12340000

Aproximaciones I Descripción:

Ejemplos de aproximaciones.
Ejercicios sobre redondeo.

Aproximaciones II Descripción:

Ejemplos de aproximaciones.
Ejercicios sobre truncamiento y redondeo.

Aproximaciones

Tutorial 1 (Redondeo y truncamiento) (7'37") Sinopsis:

Aproximaciones de números decimales por redondeo y truncamiento. Ejemplos.

Tutorial 2 (Redondeo y truncamiento) (4'28") Sinopsis:

Aproximaciones de números decimales por redondeo y truncamiento. Ejemplos.

Tutorial 3 (Aprox. por defecto y por exceso. Redondeo y truncamiento) (16'51") Sinopsis:

Aproximaciones de números decimales por defecto, por exceso, redondeo y truncamiento. Ejemplos.

Tutorial 4 (Redondeo) (8'32") Sinopsis:

Redondeo de números decimales. Ejemplos.

Redondeo y truncado de números decimales Descripción:

En esta escena podrás practicar a redondear y truncar números decimales.

(Pág. 41)

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Errores

Cuando damos una cantidad de forma aproximada, cometemos un error. Distinguiremos los siguientes tipos de errores:

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Error absoluto

El error absoluto (E.A.) es la diferencia entre el valor real, V_r , y el aproximado, V_a , en valor absoluto, es decir, siempre con signo positivo.

$E.A.= |V_r - V_a|\;$

Ejemplo: Error absoluto

Una montaña mide 2475 m. Redondea la altura a las centenas y halla el error absoluto cometido:

Solución:

a) Redondeando a las centenas, la montaña mide 2500 m.

b) $E.A. = |2475 - 2500| = |-25| = 25 m\;$

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Error relativo

El error relativo (E.R.) es el cociente entre el error absoluto y el valor real.

$E. R= \cfrac {E.A.}{V_r}$

Ejemplo: Error relativo

Una montaña mide 2475 m. Redondea la altura a las centenas y halla el error relativo cometido:

Solución:

a) Redondeando a las centenas, la montaña mide 2500 m.

b) $E.A. = |2475 - 2500| = |25| = 25 \;$

c) $E.R. = \cfrac {25}{2475}=0.0101...=1.01%$

Error absoluto y relativo

Tutorial (11'21") Sinopsis:

Tutorial que explica los errores en aproximaciones (absoluto y relativo) así como la información aportada por estos valores.

Ejemplo (2'35") Sinopsis:

Ejemplo práctico sobre el cálculo del error absoluto y el error relativo.

Ejemplos: Aproximaciones de fracciones y los errores cometidos

En la siguiente escena se muestran ejemplos de como se redondea ó trunca una fracción a un orden determinado de decimales, así como los errores absoluto y relativo cometidos.

Pulsa "Inicio" para obtener un nuevo ejemplo.

Introduce el orden de la aproximación en la casilla correspondiente y pulsa "Redondeo" o "Truncamiento" para obtener distintos tipos de aproximaciones.

Anota algún ejemplo en tu cuaderno.

Medida de errores I Descripción:

Error absoluto, error relativo y cota del error. Ejemplos.
Ejercicios sobre errores y cotas.

Medida de errores II Descripción:

Error absoluto, error relativo y cota del error. Ejemplos.
Ejercicios sobre errores y cotas.

Ejercicios: Aproximaciones de fracciones y los errores cometidos Descripción:

Pulsa el botón "Ayuda" y lee atentamente la explicación del ejercicio.

(Pág. 41)

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Cota del error

Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error cometido debe estar controlado o acotado. Las cotas de error nos darán el máximo error que cometeremos al dar una aproximación de un número.

Llamaremos cota del error absoluto a un número k que cumpla que E.A. < k.
Llamaremos cota del error relativo a un número k´ que cumpla que E.R. < k´.

Cotas del error absoluto y relativo

Cuando redondeamos un valor, podemos dar cotas de los errores de la siguiente manera:

Cota de error absoluto: k = 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo.
Cota del error relativo: k´ = $\cfrac{k} {V_r}$

Cuando el valor real no es conocido (sólo tenemos un valor aproximado), el cálculo de las cotas del error se hace de la siguiente manera:

Cota de error absoluto: k = 5 unidades del orden de la primera cifra no significativa.
Cota del error relativo: k´ = $\cfrac{k} {V_a - k} \approx \cfrac{k} {V_a}$

Ejemplo: Cota del error

a) Una montaña mide 2475 m. Halla la cota de los errores absoluto y relativo cometidos en el redondeo a las centenas.

b) Una montaña (que no se sabe lo que mide realmente) mide, aproximadamente, 2500 m (esta sería la cantidad redondeada). Halla la cota de los errores absoluto y relativo.

Solución:

Redondeando a las centenas, la montaña mide 2500 m. a) Al redondear la primera cifra no utilizada es la de las decenas. De esta forma, la cotas de error son:

Cota de error absoluto: k = 50
Cota del error relativo: k´ = $\cfrac{50}{2475} = 0.0202... \rightarrow E.R.< 2.02%$

b) Como la cantidad redondeada es 2500 m, la primera cifra no significativa es la de las decenas. De esta forma, la cotas de error son:

Cota de error absoluto: k = 50
Cota del error relativo: k´ = $\cfrac{50}{2500} = 0.02 \rightarrow E.R.< 2%$

Corolario

Cuantas más cifras significativas se utilicen para dar una medida aproximada, menor es el error relativo cometido.

Ejercicio resuelto 1: Cota del error

Qué podemos decir del error absoluto y del error relativo de las siguientes mediciones:

a) La altura de un edificio es de 92 m.

b) La altura a la que vuela un avión es de 9.2 km.

c) La altura a la que está un satélite artificial es de 920 km.

Solución:

Cota error absoluto: k = 5 unidades del orden de la primera cifra no significativa

a) k = 0.5 m.

b) k = 0.05 km = 50 m.

c) k = 5 km = 5000 m.

Son muy distintos.

Cota error relativo: k´ = $\cfrac{k} {V_a - k} \approx \cfrac{k} {V_a}$

a) k' = 0.5 m : 92 m = 0.00543...

b) k' = 0.05 km : 9.2 km = 0.00543...

c) k' = 5 km : 920 km = 0.00543...

Son iguales.

Conclusión: Aunque haya diferencia en el error absoluto, las mediciones tienen igual precisión.

Ejercicio resuelto 2: Cota del error

Comparar el error relativo cometido en estas mediciones:

a) 87 m b) 5 km c) 453 km d) 4.53·10¹¹ km

Solución:

El mayor error relativo se da en el apartado b), ya que sólo tiene una cifra significativa.

El menor error relativo se puede dar en el apartado c) o d), por tener tres cifras significativas. Ambos tienen el mismo error realtivo por ser las tres cifras significativas iguales.

a) k' = 0.5 m : 87 m = 0,0057...

b) k' = 0.5 km : 5 km = 0.1

c) k' = 0.5 km : 453 km = 0,0011...

d) k' = 0.005·10¹¹ km : 4.53·10¹¹ km = 0,0011...

Cota del error (9') Sinopsis:

Videotutorial sobre las cotas de error absoluto y relativo.

(Pág. 42)

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Notación científica

Trabajar con números muy grandes o muy pequeños (muy próximos a cero) resulta engorroso. Por eso debemos aprender a escribir estos números de una forma más abreviada y que resulte más cómoda.

Esta forma de escribirlos es lo que llamaremos notación científica. Veamos en qué consiste:

Un número está en notación científica si aparece expresado de la forma:

$a \cdot 10^n$

donde $a \;\!$ es un número con 1 cifra entera distinta de cero y un número cualquiera de decimales.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Los siguientes números están en notación científica:

$1.23 \cdot 10^{3} \, , \ \ 7 \cdot 10^{-2}$

Estos otros no lo están:

$12.3 \cdot 10^{2} \, , \ \ 0.7 \cdot 10^{-1}$

Ejemplo 2:

La distancia media de la Tierra al Sol es de unos 1500 millones de kilómetros. Si tuviésemos que expresarlo en metros, lo podríamos escribir con todas sus cifras, pero sería más razonable escribirlo en notación científica:

$150\,000\,000\,000 \ m=1.5 \cdot 10^{11} \ m$

La masa de un electrón es aproximadamente $9.1 \cdot 10^{-31} \ kg$ . Si lo escribiésemos con todas sus cifras ...

$0.00000000000000000000000000000091 \ kg$

La notación científica

Actividad 1 Descripción:

En la siguiente escena, genera distintos números, pulsando el botón inferior.

Anótalos en tu cuaderno, explicando qué condiciones cumple para que esté en notación científica.

Actividad 2 Descripción:

Consulta la ayuda de la escena y contesta.

Modifica los valores de las cifras y del exponente y observa qué sucede con la coma en los siguientes casos:

Si el exponente es cero
Si el exponente es negativo
Si el exponente es positivo

Anota en tu cuaderno las conclusiones a las que hayas llegado.

Actividad 3 Descripción:

Consulta la ayuda de la escena y contesta.

Debes averiguar qué números son menores que 1 (numeros pequeños) o mayores que 1 (números grandes).

Anota en tu cuaderno los resultados.

Actividad 4 Descripción:

Para comparar números escritos en notación científica debes tener en cuenta las siguientes normas:

Dos números con distinta potencia de 10 : el nº mayor es el de mayor exponente
Dos números con la misma potencia de 10: el nº mayor es el de "mayor cifra" delante de la potencia

Consulta la ayuda y practica con la escena adjunta.

Anota en tu cuaderno los resultados.

Procedimiento

Para pasar un número a notación científica debemos:

Desplazar la coma hasta colocarla detrás de la primera cifra distinta de cero.
Multiplicar por una potencia de 10 adecuada:

Si la desplazamos $n\;$ lugares a la izquierda, estamos dividiendo el número de partida por $10^n\;$ , por lo que deberemos multiplicar por $10^n\;$ para equilibrar.
Si la desplazamos $n\;$ lugares a la derecha, estamos multiplicando el número de partida por $10^n\;$ , por lo que deberemos dividir por $10^n\;$ para equilibrar, esto es, multiplicar por $10^{-n}\;$ .

Ejemplos

Expresa en notación científica los siguientes números:

a) 123 000 b) 0.023

Solución:

a) Para expresar 123 000 en notación científica debemos mover la coma 5 lugares hacia la izquierda para que quede situada entre el 1 y el 2. (Nótese que la coma está detrás del último cero en el número de partida, aunque no se escribe). Esto equivale a dividir el número de partida entre $10^5\;$ , por lo que compensaremos multiplicando por dicha potencia:

$123\,000=\cfrac{123\,000}{10^5} \cdot 10^5 = 1.23 \cdot 10^5$

b) Para expresar 0.023 en notación científica debemos mover la coma 2 lugares hacia la derecha para que quede situada entre el 2 y el 3. Esto equivale a multiplicar el número de partida por $10^2\;$ , por lo que compensaremos dividiendo por dicha potencia:

$0.023=\cfrac{0.023 \cdot 10^2}{10^2} = \cfrac{2.3}{10^2}= 2.3 \cdot 10^{-2}$

Cómo pasar a notación científica

Actividad 1a Descripción:

Actividades para aprender a manejar la notación científica.

Actividad 1b Descripción:

Ejemplos de números muy grandes y muy pequeños.
Ejercicios resueltos sobre notación científica. Uso de la calculadora.

Actividad 2 Descripción:

Repaso sobre notación científica.

Autoevaluación 1 Descripción:

Escribe en notación científica.

Autoevaluación 2 Descripción:

Escribe en noptación científica.

Autoevaluación 3 Descripción:

Notación científica.

Notación científica

Tutorial 1 (7'38") Sinopsis:

Notación científica.

Tutorial 2 (7'37") Sinopsis:

Números en notación científica. Ejemplos.

Tutorial 3 (33'14") Sinopsis:

Tutorial dedicado a la Notación Científica. Expresión de números en esta forma y operaciones con notación científica (producto/división, suma/resta).

00:00 a 05:00: Introducción general. Justificación de la Notación Científica.
05:00 a 07:07: Definición de un número en Notación Científica.
07:07 a 11:21: Ejemplo 1: Paso de notación científica a decimal.
11:21 a 16:35: Ejemplo 2: Paso de notación decimal a científica.
16:35 a 22:35: Ejemplo 3: Productos y divisiones en notación científica.
22:35 a 24:58: Ejemplo 4: Fuerza de atracción del Sol y la Tierra.
24:58 a 33:14: Ejemplo 5: Sumas y Restas en notación científica.

Tutorial 4 (5'19") Sinopsis:

Notación científica. Ejemplos.

Tutorial 5 (5'19") Sinopsis:

Potencias de 10 y notación científica. Ejemplos.

Tutorial 6 (36'08") Sinopsis:

Notación científica. Operaciones. Ejemplos.

Tutorial 7 (32'42") Sinopsis:

Introducción a la notación científica.

Ejercicio 1 (7'51") Sinopsis:

Escribe en notación científica:

a) 12 670 000 000 kg

b) 92 000 m

c) 0.000 632 km^3>

d) 0.048 hm

Ejercicio 2 (4'22") Sinopsis:

Escribe en notación científica:

a) 407 000 000 000 000

b) 24 000

c) 0.000 000 078

Ejercicio 3 (6'32") Sinopsis:

Escribe en notación científica:

a) 5 000 000 000 b) 27 000 c) 900 d) 129 000

e) 0.000 000 025 f) 0.000 678 g) 0.000 000 000 000 853

Ejercicio 4 (6'53") Sinopsis:

Escribe 0.0000000003457 en notación científica.

Ejercicio 5 (20'57") Sinopsis:

Escribe en notación científica:

a) 0.00852 b) 7 012 000 000 000 c) 0.0000000000000500

d) 723 e) 0.6 f) 82 300 000 000

Opera pasando previamente a notación científica cuando sea necesario:

a) $0.000064 \cdot 320\, 000\, 000\, 000\;$

b) $\cfrac{3.2 \cdot 10^{11}}{6.4 \cdot 10^{-6}}$

Ejercicio 6 (11'29") Sinopsis:

Escribe con todas sus cifras:

a) $3.102 \cdot 10^2\;$ b) $7.4 \cdot 10^4\;$ c) $1.75 \cdot 10^{-3}\;$ d) $2.9 \cdot 10^{-5}\;$

Escribe en notación científica:

a) 120 000 b) 1 765 244 c) 12 d) 0.00281 e) 0.000000027

¿Cuál es el número más grande? (4'12") Sinopsis:

¿Hasta qué número es posible contar? ¿Hay un número mayor que todos, o la cuenta no acaba nunca y es infinita? ¿Cuál es el número más grande que alguien haya podido imaginar? Errata en minuto 1:05 -> en realidad ese número se lee "setenta mil trillones" en español y en inglés si sería "seventy sextillion" por lo que hay un error en el vídeo.

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La notación científica en la calculadora

La mayoría de las calculadoras expresan los números en notación científica omitiendo la potencia de 10, mostrando sólo el número que va multiplicando delante del 10 y el exponente.

La siguiente actividad te ayudará a entenderlo:

Notación científica con calculadora Descripción:

Pulsa "INICIO" y, a continuación, pulsa uno de los tres botones inferiores, pero sólo uno. Escribe en tu cuaderno las tres formas posibles y comprueba tus soluciones pulsando los otros dos botones inferiores.

Anota los resultados en tu cuaderno.

Calculadora: Notación científica

Para introducir un número en notación científica usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $2.5219 \cdot 10^{-3}$

Procedimiento: $2\;\!$ $5219\;\!$ $3\;\!$

Solución: $2.5219 \cdot 10^{-03}$

Nota:

El modo SCI fuerza a la calculadora a trabajar en notación científica, con la cantidad de cifras significativas que le indiquemos al activarlo.

Normalmente trabajaremos en modo NORM 2. De esta manera la calculadora sólo recurrirá a la notación científica cuando el número de cifras sea grande.

Para activar el modo SCI o el modo NORM usa la tecla MODE (SHIFT SETUP en otros modelos).