Fórmula del binomio de Newton (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Binomio de Newton
- 1.1 Triángulo de Pascal
2 Ejercicios propuestos

(pág 45)

Binomio de Newton

Teorema: Fórmula del binomio de Newton

El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula:

$(a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n} b^n,$

que podemos expresar de forma abreviada de la siguiente manera:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k$

siendo ${n\choose k}$ , los coeficientes binomiales.

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Al-Karaji alrededor del año 1000.

Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular.

$\begin{matrix} {0 \choose 0} \\ {1 \choose 0}{1 \choose 1} \\ {2 \choose 0}{2 \choose 1}{2 \choose 2} \\ {3 \choose 0}{3 \choose 1}{3 \choose 2}{3 \choose 3} \\ {4 \choose 0}{4 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 4} \\ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \end{matrix}\;$

Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, en los siglos X y XI, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.

También conocido como triángulo de Tartaglia, especialmente en Italia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500–77).

Propiedades

Cada casilla del triángulo se obtiene como suma de las dos que hay justo encima de ella.
Los coeficientes del desarrollo de (a+b)ⁿ se encuentran en la línea "n+1" del triángulo de Pascal.
El triángulo de Pascal es simétrico.
La suma de todos los valores de la fila "n" del triángulo de Pascal es igual a 2^n.

Demostración:

Esto es así porque ${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$ . [1]
Esto es inmediato, por como está construido el triángulo de Pascal.
Esto es así porque ${n\choose {n-p}} = {n\choose p}$ . [2]
Esto es debido a que, por el teorema del binomio aplicado a (1+1)ⁿ:

$2^n = (1+1)^n= {n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n}$

[1] y [2] son propiedades de los coeficientes binomiales

Triángulo de Pascal para n=10.

Binomio de Newton

Tutorial (19'39") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica la construcción del Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia y se aplica para el desarrollo de potencias de binomios. También se explica la relación con el Binomio de Newton.

Ejercicio 1 (8'19") Sinopsis:

Desarrolla usando el triángulo de Tartaglia y números combinatorios:

$(x-3)^5\;$

Ejercicio 2 (11'17") Sinopsis:

Desarrolla usando el triángulo de Tartaglia y por otro método:

a) $(a+b)^6\;$

b) $(x-y)^5\;$

Ejercicio 3 (15´23") Sinopsis:

Desarrolla usando el triángulo de Tartaglia: $(a+b)^5\;$

Ejercicio 4 (10´08") Sinopsis:

a) Halla el segundo término del desarrollo por el binomio de Newton de $(2x^2+1)^6\;$

b) Halla el coeficiente del quinto término del desarrollo por el binomio de Newton de $(3a+b)^6\;$

Ejercicio 5 (10´10") Sinopsis:

a) Halla el término independiente del desarrollo por el binomio de Newton de $\left( x^2+\cfrac{1}{x^2}\right)^6\;$

b) La diferencia del número de términos de los binomios $(a+b)^m\;$ y $(a+b)^n\;$ es 2; y el producto de dichos binomios posee tres términos más que el primero. Halla "m" y "n".

Ejercicio 6 (16´49") Sinopsis:

a) Si los coeficientes del primer y último término del desarrollo de $P(x,y)=(2a^2x^2+ay^5)^{16}\;$ son iguales, halla el coeficiente del término 14.

b) Al desarrollar el binomio $\left( \cfrac{x^m}{y^{n-10}}+\cfrac{y^{n+20}}{x} \right)^n\;$ se obtiene un único término central, cuya parte literal es $x^{120}y^{720}\;$ . Halla el valor de $m+n\;$ .