Plantilla:Ternas pitagóricas

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  • Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras.
  • Las ternas cuyos tres números son primos entre sí, es decir, tales que m.c.d(a,b,c)=1, reciben el nombre de ternas pitagóricas primitivas.

ejercicio
Ejemplos:
  • (3,4,5) es una terna pitagórica (52 = 32 + 42).
  • También son ternas pitagóricas sus múltiplos: (6,8,10), (9,12,15), ... ,(3k,4k,5k) con k \in \mathbb{N}.

Ternas pitagóricas (1'56")     Sinopsis:

Las ternas pitagóricas. Ejemplos.

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Generando ternas pitagóricas

ejercicio

Proposición

Si (a,b,c)\; es una terna pitagórica entonces también lo es (ka,kb,kc)\;, con k \in \mathbb{N}.

Demostración:

Sea (a,b,c) es una terna pitagórica. Se cumple:

a^2+b^2=c^2 \,     [1]

Vamos a comprobar que (ka,kb,kc) también lo es y para ello veremos que también cumple el teorema de Pitágoras:

(ka)^2+(kb)^2=k^2a^2+k^2b^2=k^2(a^2+b^2)=k^2c^2=(kc)^2\;

donde en el el penúltimo paso hemos utilizado la igualdad [1].

Por tanto, (ka,kb,kc) cumple el teorema de Pitágoras y es una terna pitagórica.

ejercicio

Proposición

  • \{ (a,b,c) \ / \ a=k^2+1 \, ; \ b=2k\, ; \ c=k^2-1 \, , \ k \in \mathbb{N} \} son ternas pitagóricas.
  • \{ (a,b,c) \ / \ a=p^2-q^2 \, ; \ b=2pq \, ; \ c=p^2+q^2 \,, \ p>q \} son ternas pitagóricas.

Generación de ternas pitagóricas     Descripción:

En esta escena podrás ver como se generan ternas pitagóricas.

ejercicio

Proposición

Si x_{n-1}, \, x_n, \, x_{n+1}, \, x_{n+2} \; son cuatro términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, entonces los siguientes números

a_1 = x_{n-1} x_{n+2}\, ; \ \ a_2= 2x_n x_{n+1}\, ; \ \ a_3=\sqrt{a_1^2 +a_2^2}

forman una terna pitagórica.

Demostración:
Se demuestra expresando los términos centrales de la subsucesión de Fibonacci, en función de los términos extremos y, luego, aplicando el teorema de Pitágoras para a_1 \, y \, a_2 \; considerándolos como 'catetos'.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ternas_pitag%C3%B3ricas"
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