Factoriales y números combinatorios (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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Factoriales

Se define el factorial de un número entero positivo "n" como

n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n

y se define, por convenio:

0! = 1 \;.

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (permutaciones sin repetición). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.

La notación matemática actual, n!\;, fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.

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Números combinatorios

Coeficiente binomial

Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por {n\choose k}, o   C^k_n \,, o bien   C_{n,k} \,, al número de subconjuntos de k\; elementos escogidos de un conjunto con n\; elementos. También se suele decir que es el "número de combinaciones de n\; elementos tomados de k\; en k\;" y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".

ejercicio

Proposición


El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:

{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Propiedades de los números combinatorios

ejercicio

Propiedades


  1. {n\choose 0} = {n\choose n} = 1
  2. {n\choose k} = {n\choose n-k}
  3. {n-1\choose k-1} + {n-1\choose k} = {n\choose k}

Apéndice

Permutaciones

Se llama permutaciones de n elementos, y se representa P_n\;, a las diferentes formas de ordenar esos n elementos.

ejercicio

Proposición


Las permutaciones de n elementos se pueden calcular con la siguiente fórmula:

P_n=n!\;

Permutaciones con repetición

Se llama permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa PR_n^{a,b,c,...}\;, a las distintas formas de ordenar esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.

ejercicio

Proposición


Las permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., se pueden calcular con la siguiente fórmula:

PR_n^{a,b,c,...}=\cfrac{n!}{a!b!c!...}\;

Variaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa VR_n^k\;, o bien VR_{n,k}\;, al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y se pueden repetir los elementos.

ejercicio

Proposición


Las variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

VR_{n,k}=n^k\;

Variaciones ordinarias

Se llama variaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa V_n^k\;, o bien V_{n,k}\;, al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y no se pueden repetir los elementos.

ejercicio

Proposición


Las variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)

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