Probabilidad. Combinatoria
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Experimentos aleatorios
Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento.
Espacio muestral
Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra E .
Ejemplo: Espacio muestral
El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos
Sucesos
Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E . Para designar cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.
Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por S .
Ejemplo: Sucesos
En el ejemplo anterior, determina los sucesos de E:
a)Salir múltiplo de 5. b)Salir número primo. c)Salir mayor o igual que 10.
Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.
Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del
experimento.
Sucesos compuestos son los que estan formados por dos o más resultados del
experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales.
Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está
formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el
espacio muestral.
Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por
.
Operaciones con sucesos
Inclusión e igualdad de sucesos
Un suceso
A
esta incluido ( contenido ) en otro suceso
B
si todo suceso elemental de
A
pertenece también a
B
. Se representa por
.
Dos suceso
A
y
B
son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. Se representa
por
A = B
.
Unión de sucesos
Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de A y B al suceso que se realiza cuando lo hacen A o B . Se representa por .
Intersección de sucesos
Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso intersección de A y B al suceso que se realiza cuando lo hacen A y B . Se representa por .
Cuando , decimos que los sucesos A y B son incompatibles. Cuando no sucede esto, decimos que A y B son compatibles.
Sucesos contrarios
Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos conjuntos da el conjunto imposible, decimos que ambos sucesos son complementarios o contrarios.
Para un suceso cualquiera
A
de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso
A
al suceso que se verifica cuando no se verifica
A
, y reciprocamente. Se representa:
.
En cualquier experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las
propiedades mas significativas de los sucesos contrarios son:
Algebra de Boole de sucesos
La union y la interseccion de sucesos verifican las propiedades conmutativa, asociativa,
idempotente, simplificación, distributiva, existencia de elemento neutro y absorción:
Definición de probabilidad. Propiedades.
Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli.
Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.
Regla de Laplace
Definición de Laplace. En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.
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Definición axiomática
La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.
Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso es un número que verifica:
- 1º. Cualquiera que sea el suceso A, P(A).
- 2º. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades.
- 3º. La probabilidad total es 1. P(E) = 1.
Propiedades
- 1.
- 2.
- 3. Si
- 4. Si A1,A2,...,Ak son incompatibles dos a dos, entonces:
- 5.
{{ejercicio|titulo=Ejercicios: Las utilidades de las propiedades |cuerpo=
1. En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas:
P(REY)=0.15, P(BASTOS)=0.3, P("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6.
¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad.
¿Cuántas cartas hay?2. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:
- a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.
- b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?
a) El espacio muestral del experimento es:
y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos posibles del experimento.
Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden: Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son:
Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3
b)Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que dos", los casos favorables al suceso B son:
Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3