Plantilla:Potencias de números fraccionarios

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Potencias de números racionales

Las potencias cuya base es un número racional se definen de la misma manera que las que tienen como base un número entero.

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Potencia de un número racional
Tutorial 1a (6'21")     Sinopsis:
  • Breve repaso de las potencias de base entera y exponente natural.
  • Potencias de base racional y exponente natural.
  • Potencias de exponente 0 y 1.
Tutorial 1b (12'45")     Sinopsis:

Cómo se calcula la potencia de una fracción. Ejemplos.

Tutorial 2: Potencia de exponente cero (1'35")     Sinopsis:

a^0 = 1 \ , \ \forall a \ne 0\;. Ejemplos.

Ejercicios (10'51")     Sinopsis:
  • Escribe en forma de potencia los siguientes productos:
1) \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2}\;
2) \cfrac{-3~}{5} \cdot \cfrac{-3~}{5} \cdot \cfrac{-3~}{5} \cdot \cfrac{-3~}{5}\;
3) \cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{2}{3}\;

  • Escribe en forma de una única potencia:
4) \cfrac{6^7}{6^3}\;;          5) \cfrac{5^9}{5}\; ;          6) \cfrac{12^2}{12^0}\;
7) \cfrac{25}{16}\; ;          8) \cfrac{3^2}{5^2}\; ;          9) \cfrac{9}{4}\; ;          10) \cfrac{1000}{27}\;

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Potencias de exponente negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}

Como consecuencia:

ejercicio

Propiedad

\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)
.


ejercicio
Ejemplos: 

video
Potencias de exponente negativo
Tutorial 1 (6'44")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 2 (13'40")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 3 (0'43")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos

Tutorial 4 (6'44")     Sinopsis:

Potencias de exponente negativo. Ejemplos.

Tutorial 5 (2'52")     Sinopsis:

a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}\;. Ejemplos.

Tutorial 6a (9'22")     Sinopsis:

Exponentes negativos. Ejemplos.

Tutorial 6b (4'39")     Sinopsis:

Razonando sobre el por qué de la definición de los exponentes negativos.

Ejercicio 1 (4'31")     Sinopsis:

Simplifica:

a) 4^{-3} \cdot 4^5\;
b) a^{-4} \cdot a^2\;
c) \cfrac{12^{-7}}{12^{-5}}\;
d) \cfrac{x^{-20}}{x^5}\;
Ejercicio 2 (5'42")     Sinopsis:

Simplifica:

a) (3^{-8} \cdot 7^3)^{-2}\;
b) (a^{-2} \cdot 8^7)^2\;
c) \left( \cfrac{2^{-10}}{4^2} \right)\;
Ejercicio 3 (8'02")     Sinopsis:

Halla el valor de:

11) 100^{-1}\; ;          12) 100^{-3}\; ;          13) 10^{-4}\; ;          14) (10^{-3})^{-1}\;

15) (-3)^{-2}\; ;          16) 2^{-1}\; ;          17) \left( \cfrac{1}{2} \right)^{-1}\; ;          18) \left( \cfrac{1}{7} \right)^{-1}\; ;          19) \left( \cfrac{-1}{5} \right)^{-1}\;

video
Potencias de exponente negativo
Actividad 1     Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Actividad 2     Descripción:

Actividades sobre potencias de exponente negativo.

Actividad 3     Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) 3^{-5}\; b) 5^{-3}\; c) 7^{-2}\; d) 2^{-7}\;

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.

Autoevaluación 1a     Descripción:

Potencias de exponente negativo.

Autoevaluación 1b     Descripción:

Multiplica y divide potencias (exponentes enteros).

Autoevaluación 1c     Descripción:

Potencias de productos y cocientes (exponentes enteros)

Autoevaluación 1d     Descripción:

Potencias de exponentes enteros.

Autoevaluación 2a     Descripción:

Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación 2b     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente negativo.

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Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.

ejercicio
Ejemplos: 
Pulsa los botones para obtener ejemplos de cada tipo:

Click aquí si no se ve bien la escena

Click aquí si no se ve bien la escena

video
Propiedades de las potencias de números racionales
Tutorial 1 (27'46")     Sinopsis:

Tutorial muy completo que explica las propiedades básicas de las potencias con ejemplos resueltos sencillos y alguno más complejo.

Tutorial 2 (11'54")     Sinopsis:
  • Potencias de exponente entero de números racionales.
  • Propiedades.
  • Ejemplos
Tutorial 3a (6'20")     Sinopsis:

Producto de potencias de fracciones con la misma base. Ejemplos.

Tutorial 3b (6'01")     Sinopsis:

Cociente de potencias de fracciones con la misma base. Ejemplos.

Tutorial 3c (4'56")     Sinopsis:

Potencia de otra potencia de una fracción. Ejemplos.

Tutorial 3d (6'08")     Sinopsis:

Potencia de un producto de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 4a (3'00")     Sinopsis:

Producto de potencias de la misma base: a^n \cdot a^m=a^{m+n}\;. Ejemplos.

Tutorial 4b (2'32")     Sinopsis:

Cociente de potencias de la misma base: a^n : a^m=a^{m-n}\;. Ejemplos.

Tutorial 4c (1'58")     Sinopsis:

Potencia de otra potencia: (a^n)^m = a^{n \cdot m}\;. Ejemplos.

Tutorial 4d (2'48")     Sinopsis:

Potencia de un producto: (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\;. Ejemplos.

Tutorial 4e (2'48")     Sinopsis:

Potencia de un cociente: \left( \cfrac{a}{b} \right)^n = \cfrac{a^n}{b^n}\;. Ejemplos.

Tutorial 5a (8'12")     Sinopsis:
  • Potencias de exponente 1 y 0.
  • Producto y cociente de potencias de la misma base.
  • Potencia de un producto y de un cociente.
  • Potencia de otra potencia.
  • Ejemplos.
Tutorial 5b (6'26")     Sinopsis:
  • Potencias de base negativa.
  • Potencias de exponente negativo.
  • Ejemplos.
Ejemplos 1 (5'40")     Sinopsis:

Cálculos con potencias de exponente positivo.

Ejemplos 2 (3'35")     Sinopsis:

Cálculos con potencias de exponente negativo.

Ejemplos 3 (6'55")     Sinopsis:

Simplificaciones de operaciones con potencias.

Cálculos con potencias de fracciones:

Ejercicio 1 (10'49")     Sinopsis:

Calcula:

20) \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^9 ;          21) \left( \cfrac{-3~}{2} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-3~}{2} \right)^3 ;          22) \left( \cfrac{3}{5} \right)^6 \cdot \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2}

23) \left( \cfrac{1}{4} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^{-3} ;          24) \left( \cfrac{1}{4} \right)^5 \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^{-3} ;          25) \left( \cfrac{2}{3} \right)^7 \cdot \left( \cfrac{2}{3} \right)^{-3}

26) \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-4} \cdot \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^8 ;          27) \left( \cfrac{2}{13} \right)^{-7} \cdot \left( \cfrac{2}{13} \right)^9 ;          28) \left( \cfrac{1}{9} \right)^7 \cdot \left( \cfrac{1}{9} \right)^{-6}

Ejercicio 2 (8'36")     Sinopsis:

Calcula:

29) \left( \cfrac{3}{4} \right)^3 : \left( \cfrac{3}{4} \right)^2 ;          30) \left( \cfrac{4}{3} \right)^{-2} : \left( \cfrac{4}{3} \right)^4 ;          31) \left( \cfrac{3}{7} \right)^6 \cdot \left( \cfrac{3}{7} \right)^4

32) \left( \cfrac{2}{5} \right)^{-2} : \left( \cfrac{2}{5} \right)^6 ;          33) \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-5} : \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-3} ;          34) \left( \cfrac{-1~}{7} \right)^4 \cdot \left( \cfrac{-1~}{7} \right)^{-3}

Ejercicio 3 (10'26")     Sinopsis:

Calcula:

35) \left[ \left( \cfrac{-3~}{7} \right)^2 \right]^3 ;          36) \left[ \left( \cfrac{2}{3} \right)^3 \right]^5 ;          37) \left[ \left( \cfrac{3}{4} \right)^2 \right]^4
38) \left[ \left( \cfrac{2}{5} \right)^3 \right]^2 ;          39) \left[ \left( \cfrac{2}{3} \right)^{-2} \right]^{-3};          40) \left[ \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2} \right]^{-7}
41) \left[ \left( \cfrac{-3~}{4} \right)^{-2} \right]^{-5} ;          42) \left[ \left( \cfrac{-2~}{7} \right)^3 \right]^{-2} ;          43) \left[ \left( \cfrac{-2~}{7} \right)^{-1} \right]^3
44) \left[ \left( \cfrac{2}{5} \right)^{-3} \right]^{-2} ;          45) \left[ \left( \cfrac{-2~}{5} \right)^{-3} \right]^{-2} ;          46) \left[ \left( \cfrac{-1~}{8} \right)^{-2} \right]^{-3}
Ejercicio 4 (5'28")     Sinopsis:

Escribe como varias potencias:

47) \left( \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{6}{5}\right)^2
48) \left( \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{6}{25} \cdot \cfrac{5}{9}\right)^3
49) \left( \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{5}{7} \cdot \cfrac{8}{6}\right)^3
50) \left[ \cfrac{1}{3} \cdot \left( \cfrac{-2~}{5} \right) \cdot \left( \cfrac{-2~}{2} \right) \right]^2
51) \left[ \cfrac{2}{3} \cdot \left( \cfrac{-5~}{4} \right) \cdot \cfrac{8}{5} \cdot \left( \cfrac{-5~}{2} \right) \right]^{-3}
Ejercicio 5 (13'54")     Sinopsis:

Escribe como una sola potencia:

52) \left( \cfrac{2}{5} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{7} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{9}{11} \right)^2
53) \left( \cfrac{1}{3} \right)^3 \cdot \left( \cfrac{1}{4} \right)^3 \cdot \left( \cfrac{5}{6} \right)^3
55) \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{5}{4} \right)^2 \cdot \left( \cfrac{-3~}{5} \right)^2
56) \left( \cfrac{-2~}{5} \right)^{-3} \cdot \left( \cfrac{1}{3} \right)^{-3} \cdot \left( \cfrac{5}{4} \right)^{-3}
57) \left( \cfrac{-2~}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{1}{5} \right)^{-2} \cdot \left( \cfrac{3}{4} \right)^{-2}
58) \left( \cfrac{2}{4} \right)^{-1} \cdot \left( \cfrac{-3~}{5} \right)^{-1} \cdot \left( \cfrac{5}{7} \right)^{-1}
Ejercicio 6 (9'43")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \left[\left(\cfrac{3}{5} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{9}{25} \right)^2 \right]^3
b) \left[\cfrac{16}{9} \cdot \left(\cfrac{56}{27} \right)^{-1} \right] \cdot \left(\cfrac{14}{9} \right)^3 \cdot \left(\cfrac{7}{12} \right)^{-2}
Ejercicio 7 (4'05")     Sinopsis:

Simplifica \cfrac{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^5 \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-2}}{ \left(\cfrac{3}{4} \right)^{-1} \cdot \left(\cfrac{3}{4} \right)^6}

Ejercicio 8 (2'08")     Sinopsis:

Simplifica: \left[ \left( \cfrac{1}{3} \right)^{10} : \left( \cfrac{1}{3} \right)^7 \right]^2

Cálculos con potencias dentro de fracciones:

Ejercicio 1 (10'23")     Sinopsis:

Calcula:

59) \cfrac{3^2 \cdot 3^3 \cdot 3}{3^4}\;
60) \cfrac{4^{-1} \cdot 4^{-3}}{4^{-2} \cdot 4^{-5}}\;
61) \cfrac{2 \cdot 2^{-3}}{2^{-2}}\;
62) \cfrac{(-2)^{-3} \cdot (-2)^5 \cdot (-2)}{(-2)^{-1} \cdot (-2)^3}\;
Ejercicio 2 (7'23")     Sinopsis:

Calcula:

63) \cfrac{2^2 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5}{2^4 \cdot 2^{-1}}\;
64) \cfrac{6^{-1} \cdot (6^5)^2}{6^2 \cdot 6^3}\;
65) \cfrac{4^{-1} \cdot 4^{-3}}{4^{-2} \cdot 4^{-4}}\;
66) \cfrac{(-3)^{-2} \cdot (-3)^{-3}}{\left[ (-3)^2 \right]^{-2}}\;
Ejercicio 3 (3'37")     Sinopsis:

Simplifica: \left( \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 2} \right)^2

Ejercicio 4 (3'42")     Sinopsis:

Simplifica: \left[ \cfrac{(8^2 \cdot 8) \cdot (6^7 \cdot 6)^2}{(8^3)^3 \cdot (6^3)^0 \cdot 6^3} \right]^3

Ejercicio 5 (3'40")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{(3x^2y)^5}{3x^4y^7}

Ejercicio 6 (2'47")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{2^{16}}{2^{13}}+\cfrac{5^3 \cdot 3^8}{5^2 \cdot 3^6}

Ejercicio 7 (17'31")     Sinopsis:

Simplifica y expresa la solución como una única potencia:

a) \cfrac{9^3 \cdot 27}{81}

b) (27^3 \cdot 9^{-1}) : (81 \cdot 9^3)^{-2}

c) \cfrac{16 \cdot 8^6 \cdot 2^{-3}}{(2^{-1})^{-3} \cdot 4}

d) 6^4 \cdot 12 \cdot 9^2

e) a) \cfrac{5^2 \cdot (10^3)^2 \cdot 2^{-2}}{40^{-2} \cdot 10 \cdot 25}

Ejercicio 8 (14'41")     Sinopsis:

Simplifica y expresa la solución como una única potencia:

a) 4^4 \cdot 15^4 :6^4

b) 7^3 \cdot 2^{12}

c) 6^6 : 2^6 \cdot 81

d) 10^8 : (8^2 \cdot 2^2)

e) 6^6 \cdot 8^4 : 9^3

f) \cfrac{4^6 \cdot 9^3}{12^5}

Ejercicio 9 (11'39")     Sinopsis:

Simplifica:

a)\cfrac{9^3 \cdot 3^6 \cdot 81^2}{27^5 \cdot 3^2}
b)\cfrac{15^6 \cdot 12^4}{10^5 \cdot 3^6 \cdot 81}
Ejercicio 10 (13'13")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \cfrac{5^{13} \cdot 5^{17}}{5^{11} \cdot 5^{16} \cdot 5^1}
b) \cfrac{(-4)^6 \cdot (-4)^5 \cdot (-4)^{20} \cdot (-4)^3}{(-4)^8 \cdot (-4)^{19} \cdot (-4)^4}
c) \left[ \cfrac{( 2^3 \cdot 2^6)^{-2} \cdot (3^4)^3 \cdot 3 }{( 2^6 \cdot 2^{10})^{-1}\cdot (3^6 \cdot 3^2 \cdot 3^5)}\right]^{10}

Cálculos de diversos tipos:

Ejercicio 1 (10'06")     Sinopsis:

Tutorial que explica la potencia de exponente entero (positivo y negativo) con fracciones y operaciones combinadas con multiplicación, división y potencias, trabajando la simplificación previa.

Exponente positivo:

a) \left( \cfrac{2}{5} \right)^3 ;         b) \left( \cfrac{-3}{7} \right)^2 ;         c) \left( \cfrac{-5}{3} \right)^3 ;         d) \cfrac{4^3}{3} ;         e) -\cfrac{5^2}{8}

Exponente negativo:

f) \left( \cfrac{2}{5} \right)^{-3} ;         g) \left( -\cfrac{3}{7} \right)^{-2} ;         h) \left( \cfrac{-5}{3} \right)^{-3} ;         i) 4^{-3}\; ;         j) -\cfrac{2^{-3}}{3}

Operaciones combinadas:

k) \cfrac{5^2}{3} \cdot \left( \cfrac{4}{18} \right)^{-1} : 5 ;         l) \cfrac{6}{10} \cdot \left( \cfrac{3}{5} \right)^{-2} : \left( \cfrac{5}{2} \right)^2 \cdot 2^{-1}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Potencias_de_n%C3%BAmeros_fraccionarios"
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