Raíces de un polinomio (4ºESO Académicas)
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Raíces de un polinomio
Un número es una raíz o un cero de un polinomio
, si
.
Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación .
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Raíces de un polinomio. Ejemplos.
Teorema del factor
es una raíz de un polinomio
si y solo si
es un factor de dicho polinomio.
En efecto, si es una raíz de
, entonces
y, por el teorema del resto, el resto de dividir
entre
es cero. Así
es un factor de
.
Raíces enteras de un polinomio
Supongamos que tenemos un polinomio con coeficientes enteros y del cual sabemos que sus raíces son también números enteros. ¿Cómo las encontramos?. Para hacerlo tendríamos que ir probando a dividirlo por
, pero ¿qué valor puede tomar
? El siguiente resultado nos da la respuesta:
Teorema
Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.
Demostración:
En efecto, sea una raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros
![P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0](/wikipedia/images/math/1/b/a/1ba2d0c09123aa8c1256a18ea645c37f.png)
Entonces, como , tendremos que
![P(a)=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a+a_0=0](/wikipedia/images/math/2/a/c/2acf09298d7148dfa8f1fd8b6375b42b.png)
de donde, despejando el termino independiente
![-a_0=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a](/wikipedia/images/math/a/6/f/a6fa1f1681fce9d8125676dd5c4b2ccd.png)
![a\;](/wikipedia/images/math/e/7/8/e780d261259a4c13b4267da3aef4b78d.png)
![a\;](/wikipedia/images/math/e/7/8/e780d261259a4c13b4267da3aef4b78d.png)
![a_0\;](/wikipedia/images/math/4/b/8/4b82eb1c14328055dd774d4c60d94830.png)
![a\;](/wikipedia/images/math/e/7/8/e780d261259a4c13b4267da3aef4b78d.png)
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Raíces de un polinomio |