Semejanza de rectángulos (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Rectángulos semejantes
2 El rectángulo áureo
- 2.1 Construcción del rectángulo áureo
3 Ejercicios propuestos

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Rectángulos semejantes

Proposición

Dos rectángulos son semejantes si sus dimensiones (largo y ancho) son proporcionales.

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El rectángulo áureo

El rectángulo áureo (o rectángulo dorado) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual al número áureo.

Los griegos consideraban que un rectángulo de tales características era especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte.

Proposición 2

Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Demostración:

Partimos de un rectángulo áureo. Lo dividimos en un cuadrado de lado su lado menor y otro rectángulo pequeño, como se observa en la Fig. 2.

Veamos que el rectángulo pequeño también es un rectángulo áureo. Para ello tendremos que comprobar que $\cfrac{a}{b}= \phi$

Por ser el rectángulo de partida un rectángulo áureo, se cumple que la proporción entre sus lados es el número áureo:

$\cfrac{a+b}{a} = \phi$

Operando:

$\cfrac{a+b}{a} = \phi \ \rightarrow \ \cfrac{a}{a}+\cfrac{b}{a} = \phi \ \rightarrow \ \cfrac{b}{a} = \phi - 1 \ \rightarrow$

$\rightarrow \ \cfrac{a}{b} = \cfrac{1}{\phi - 1} \ \rightarrow \ \cfrac{a}{b} = \cfrac{1}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1} \ \rightarrow \cfrac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi$

c.q.d.

Fig. 2: Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

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Construcción del rectángulo áureo

Construcción del rectángulo áureo con regla y compás

En la matemática clásica, Euclides construye el rectángulo áureo con regla y compás, siguiendo los siguientes pasos:

Se construye un cuadrado de lado unidad (de rojo, en la Fig. 3).
Se traza una segmento desde la mitad del lado del cuadrado hasta una de sus esquinas.
Empleando ese segmento como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en la prolongación de la base del cuadrado.
Ese punto obtenido determina la base del rectángulo áureo con altura igual al lado del cuadrado.

Demostración:

Si te fijas en la Fig. 3, basta con demostrar que el segmento que se obtiene en el paso 2 mide $\cfrac{\sqrt{5}}{2}$ , para lo cual basta con usar el teorema de Pitágoras.

Construcción del número de oro Descripción:

En la escena puedes ver la construcción del número de oro basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclides (siglo III a.C.).

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis: