Funciones trigonométricas. El radián (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 El radián
- 1.1 Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales
- 1.2 Ejercicios propuestos
2 Funciones trigonométricas

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El radián

El radián (simbolizado rad) se define como el ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la del radio de la propia circunferencia.

En la figura adjunta el ángulo $\phi \,$ mide un radián porque abarca un arco que mide igual que el radio de la circunferencia.

El radian se usa también en Física. Por ejemplo, la velocidad angular se suele medir en radianes por segundo (rad/s).

Utilidad del radián:

La utilidad de la medida en radianes frente a otras medidas de ángulos, es que ayuda a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

Por ejemplo, la fórmula para hallar la longitud de un arco de circunferencia de radio r correspondiente a un ángulo $θ$ (en grados sexagesimales), viene dada por la fórmula:

$l=\cfrac{2\pi \cdot r \cdot \theta}{360}$

Ahora, si $θ$ viene dado en radianes, la fórmula es:

$l=\cfrac{2\pi \cdot r \cdot \theta}{2\pi}=r \cdot \theta$

Si además trabajamos con el círculo unidad (r = 1):

$l= \theta\;$

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Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales

Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales

$\pi \, rad = 180^\circ$

En consecuencia:

$1 \, rad=\cfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 17' 45 '' \qquad \qquad1^\circ = \cfrac {\pi \, rad} {180} \approx 0.0175 \, rad$

Demostración:

Como la longitud de una circunferencia de radio $R \,$ es $2 \pi R \,$ , tenemos que una circunferencia contiene $2 \pi \,$ veces a la radio. Por tanto, 360º equivalen a $2 \pi \,$ rad y , dividiendo por 2, 180º equivalen a $\pi \,$ rad.

Utilizando la equivalencia anterior, y mediante una regla de tres, podemos obtener las siguientes equivalencias:

Grados	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianes	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π

Más información en: Radianes

Sistema radial o circular

Tutorial (9'02") Sinopsis:

Equivalencia entre grados sexagesimales y radianes.

Tutorial 2a (6´42") Sinopsis:

El sistema radial o circular. Equivalencias con el sistema sexagesimal.

Tutorial 2b (9´15") Sinopsis:

Ejemplos:

Expresa el ángulo 32,56º (32 grados y 56 centésimas de grado) en grados, minutos y segundos.
Expresa el ángulo 46º15'36" en grados sexagesimales.
Expresa el ángulo 2,6 rad. en grados, minutos y segundos.
Expresa en radianes el ángulo 72º.

Tutorial 3a (10´51") Sinopsis:

Introducción a los radianes.

Tutorial 3b (7´12") Sinopsis:

Conversión entre radianes y grados. Ejemplos.

Tau vs Pi (16´26") Sinopsis:

Conversión entre radianes y grados. Ejemplos.

Convertir grados sexagesimales a radianes:

Ejercicio 1 (3´13") Sinopsis:

Expresa 200º en radianes.

Ejercicio 2 (3´13") Sinopsis:

Expresa 135º en radianes.

Ejercicio 3 (3´36") Sinopsis:

Expresa 45.32º en radianes.

Ejercicio 4 (3´26") Sinopsis:

Expresa 16.142º en radianes.

Ejercicio 5 (5´11") Sinopsis:

Expresa 132º 42' 37" en radianes.

Ejercicio 6 (5´32") Sinopsis:

Expresa 12º 45" en radianes.

Ejercicio 7 (1´29") Sinopsis:

Expresa 750º en radianes.

Ejercicio 8 (7´02") Sinopsis:

Expresa 150º y -45º en radianes.

Convertir radianes a grados sexagesimales:

Ejercicio 1 (2´46") Sinopsis:

Expresa $\cfrac{11\pi}{6}$ radianes en grados.

Ejercicio 2 (2´53") Sinopsis:

Expresa $\cfrac{5\pi}{3}$ radianes en grados.

Ejercicio 3 (3´42") Sinopsis:

Expresa 8 radianes en grados.

Ejercicio 4 (3´32") Sinopsis:

Expresa 0.5 radianes en grados.

Ejercicio 5 (3´41") Sinopsis:

Expresa 5.214 radianes en grados.

Ejercicio 6 (1´39") Sinopsis:

Expresa $\cfrac{7\pi}{3}$ radianes en grados.

Ejercicio 7 (7´02") Sinopsis:

Expresa $\pi\;$ radianes y $-\cfrac{\pi}{3}$ radianes en grados.

Otros ejercicios:

Ejercicio 1 (5´08") Sinopsis:

Indica en que cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos: $\cfrac{3\pi}{5}\;$ radianes, $\cfrac{2\pi}{7}\;$ radianes y 3 radianes.

Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales

Actividad Descripción:

Conversión ente grados a radianes.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre equivalencia entre radianes y grados sexagesimales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre equivalencia entre radianes y grados sexagesimales.

El radian

Actividad: El radian

a) Convierte 300º en radianes.

b) Convierte 3 rad en grados sexagesimales.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) convert 300º to radians

b) convert 3 rad to degrees

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: El radián

(Pág. 155)

1, 2

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Funciones trigonométricas

Vamos a estudiar las funciones que se obtienen a partir de las razones trigonométricas de un ángulo x al hacer variar éste. Dicho ángulo se suele expresar en radianes.

Funciones trigonométricas Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las funciones trigonométricas.

Gráficas de las funciones seno y coseno (9'04") Sinopsis:

Estudio gráfico de las funciones seno y coseno.

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Función seno

Se define la función seno como

$f(x)=sen(x) \, , \ x \in \mathbb{R}$

Propiedades de la función seno

Dominio: $\mathbb{R}$
Recorrido: $[-1, 1]\,$
Periodicidad: Es periódica, con período $2 \pi \,$ .
Continuidad: Es continua en su dominio, $\mathbb{R}$ .
Simetrías: Es impar, pués $sen(-x)=-sen(x)\,$
Cortes con eje X: $\left \{ x=0+ \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Máximos: $\left \{ x=\pi / 2+2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Mínimos: $\left \{ x=3 \pi /2 +2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Crecimiento:
- Crece en los intervalos $\big( 3 \pi / 2+2 \pi (k-1) , \, \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .
- Decrece en los intervalos $\big( \pi / 2+2 \pi k , \, 3 \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .

Función seno (sinusoide).

Los valores en el eje x están expresados en radianes

La función seno

Tutorial 1 (23'02") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función seno.

Tutorial 2 (27'53") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función seno. Ejercicios.

Tutorial 3 (9'23") Sinopsis:

Dominio, rango y representación de la función seno.

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Función coseno

Se define la función coseno como

$f(x)=cos(x) \, , \ x \in \mathbb{R}$

Propiedades de la función coseno

Dominio: $\mathbb{R}$
Recorrido: $[-1, 1]\,$
Periodicidad: Es periódica, con período $2 \pi \,$ .
Continuidad: Es continua en su dominio, $\mathbb{R}$ .
Simetrías: Es par, pués $cos(-x)=cos(x)\,$
Cortes con eje X: $\left \{ x=\pi /2 + \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Máximos: $\left \{ x=2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Mínimos: $\left \{ x=\pi (2k+1) \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Crecimiento:
- Crece en los intervalos $\big( \pi (2k-1) , \, 2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .
- Decrece en los intervalos $\big( 2 \pi k , \, \pi (2k+1) \big), \ k \in \mathbb{Z}$ .

Función coseno (cosinusoide).

Los valores en el eje x están expresados en radianes

La función coseno

Tutorial 1 (26'21") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función coseno.

Tutorial 2 (30'13") Sinopsis:

Definición, representación y análisis de la función coseno. Ejercicios.

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Función tangente

Se define la función coseno como

$f(x)=tg(x) \, , \quad x \in \mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$

Propiedades de la función tangente

Dominio: $\mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Recorrido: $\mathbb{R}$
Periodicidad: Es periódica, con período $\pi \,$ .
Continuidad: Es continua en su dominio. Tiene discontinuidades en $\left \{ x=\pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Simetrías: Es impar, pués $tg(-x)=-tg(x)\,$
Cortes con eje X: $\left \{ x=k \pi , \ k \in \mathbb{Z} \right \}$
Máximos: No tiene
Mínimos: No tiene
Crecimiento: Creciente en cada intervalo que compone sus dominio.