El cálculo del volumen de la esfera fue uno de los descubrimientos que Arquímedes más estimaba de todos los que hizo en su vida. Llegó a demostrar de un modo muy original que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella. Tanto le impresionó esto a él mismo que mandó que en su tumba se grabase esta figura en recuerdo de la mejor de sus ideas.
La siguiente no es una demostración rigurosa, sino intuitiva. Vamos a ver cómo llegó hasta ahí. Arquímedes se imaginó una semiesfera y junto a ella un cilindro circular recto y un cono recto, ambos de base igual a un círculo máximo de la semiesfera:
Arquímedes cortó las tres figuras por un plano paralelo a la base del cilindro y cono y se preguntó cómo serían las secciones determinadas por este plano en cilindro, semiesfera y cono.
En el cilindro es un círculo de radio R. En la esfera también será un círculo, pero su radio dependerá de la distancia d. Mirando la figura y acordándote del teorema de Pitágoras, fácilmente puedes escribir que si el radio de la sección es r, entonces
En el cono la sección también será un círculo y ahora el radio es aún más fácil de determinar (como el radio de apertura del cono es de 45º, resulta que el radio es d).
Las secciones son como rebanadas de las tres figuras obtenidas cortando paralelamente a la base del cilindro. Resulta que, colocando las tres figuras como las hemos puesto y cortándolas en rebanadas finas
(a la misma altura)
Si para cada altura se tiene esta relación, parece bastante claro que:
Pero como:
resulta:
: Área de la base.
: Área lateral.
: Perímetro de la base.
: altura.
: aristas.
: arista.
Suma áreas triángulos
: Área de la base inferior.
: Volumen de la pirámide pequeña de base b.
: Volumen de la pirámide completa de base B.
: generatriz.
: radio.
: Volumen del cono completo.
: Volumen del cono pequeño eliminado.
